\(f^{\prime}(x)=\frac{\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)^{\prime}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}+2021=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}+2021\gt 0, \forall x \in \mathbb{R}\). Hay hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Xét

Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Do đó phương trình

\(\begin{array}{l}f[(a+b+c) x]+f(2020-3 x)=0 \Leftrightarrow f[(a+b+c) x]=f(3 x-2020) .\\\Leftrightarrow(a+b+c) x=3 x-2020\end{array}\)

\(\Leftrightarrow(a+b+c-3) x=-2020\).

Phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow a+b+c-3=0 \Leftrightarrow a+b+c=3\).

\(\Leftrightarrow 2(a b+b c+c a)=9-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \text {. }\)

Áp dạng BĐT Cô-si cho 3 số:

\(\left\{\begin{array}{l}\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^{2} \geq 3 a \\\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^{2} \geq 3 b \\\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^{2} \geq 3 c\end{array} \Rightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3(a+b+c)=9\right.\)

Hay \(2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq 9-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=2(a b+b c+c a)\)

Vậy \(M=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{a b+b c+a c} \geq 1\), dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\).