Cho hai đường thẳng $\Delta_{1}: x+y-10=0$ và $\Delta_{1}: 2 x+m y+999=0$. Tìm $m$ để góc tạo bởi hai đường thẳng trên bằng $45^{\circ}$.

Q: Cho hai đường thẳng $\Delta_{1}: x+y-10=0$ và $\Delta_{1}: 2 x+m y+999=0$. Tìm $m$ để góc tạo bởi hai đường thẳng trên bằng $45^{\circ}$.

Hai đường thẳng $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ có cặp vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{1}=(1 ; 1), \vec{n}_{2}=(2 ; m)$.Ta có: $\cos \left(\Delta_{1}, \Delta_{2}\right)=\frac{\left|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}\right|}{\left|\vec{n}_{1}\right| \cdot\left|\vec{n}_{2}\right|}=\frac{|1 \cdot 2+1 \cdot m|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4+m^{2}}}=\cos 45^{\circ} \Rightarrow \frac{|1 \cdot 2+1 \cdot m|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4+m^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow 4+m^{2}=4+4 m+m^{2} \Rightarrow m=0$. Vậy $m=0$ thỏa mãn đề bài.

Question

Accepted Answer

Hai đường thẳng $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ có cặp vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{1}=(1 ; 1), \vec{n}_{2}=(2 ; m)$.

Ta có: $\cos \left(\Delta_{1}, \Delta_{2}\right)=\frac{\left|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}\right|}{\left|\vec{n}_{1}\right| \cdot\left|\vec{n}_{2}\right|}=\frac{|1 \cdot 2+1 \cdot m|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4+m^{2}}}=\cos 45^{\circ} \Rightarrow \frac{|1 \cdot 2+1 \cdot m|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4+m^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow 4+m^{2}=4+4 m+m^{2} \Rightarrow m=0$.

Vậy $m=0$ thỏa mãn đề bài.

Đề thi cuối kì 2 ( Cấu trúc mới ) - KNTT - Đề số 07 - MĐ 9898