Cho hai đường thẳng \(\Delta_{1}: x+y-10=0\) và \(\Delta_{1}: 2 x+m y+999=0\). Tìm \(m\) để góc tạo bởi hai đường thẳng trên bằng \(45^{\circ}\).
Giải thích:
Hai đường thẳng \(\Delta_{1}, \Delta_{2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{1}=(1 ; 1), \vec{n}_{2}=(2 ; m)\).
Ta có: \(\cos \left(\Delta_{1}, \Delta_{2}\right)=\frac{\left|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}\right|}{\left|\vec{n}_{1}\right| \cdot\left|\vec{n}_{2}\right|}=\frac{|1 \cdot 2+1 \cdot m|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4+m^{2}}}=\cos 45^{\circ} \Rightarrow \frac{|1 \cdot 2+1 \cdot m|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4+m^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Rightarrow 4+m^{2}=4+4 m+m^{2} \Rightarrow m=0\).
Vậy \(m=0\) thỏa mãn đề bài.
Câu hỏi này nằm trong: