Gọi \(P, Q\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(S A ; S C\).

Kẻ \(B H \perp(A B C)\).

Ta có:

\(\left\{\begin{array}{l}S A \perp B P \\ S A \perp B H\end{array} \Rightarrow S A \perp(B H P) \Rightarrow \widehat{S P H}=90^{\circ}(1)\right.\).

\(\left\{\begin{array}{l}S C \perp B Q \\ S C \perp B H\end{array} \Rightarrow S C \perp(B H Q) \Rightarrow \widehat{S Q H}=90^{\circ}(2)\right.\).

\(\widehat{A S C}=90^{\circ}\).

\(S P=S Q=\frac{a}{2}\)

Suy ra tứ giác \(S P H Q\) là hình vuông \(\Rightarrow S H=\frac{\sqrt{2} a}{2}\).

Trong \(\triangle S H B\) vuông tại \(H\) : \(B H=\sqrt{S B^{2}-S H^{2}}=\frac{\sqrt{2} a}{2}\).

Vậy \(V=\frac{1}{2} \cdot B H \cdot S_{\triangle A S C}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 a^{2}}{2}=\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}\)