Tính tổng \(S=C_{2000}^{0}+2 C_{2000}^{1}+\ldots+2001 C_{2000}^{2000}\)
A.
\(1000.2^{2000}\).
B.
\(2001.2^{2000}\).
C.
\(2000.2^{2000}\).
D.
\(1001.2^{2000}\)
Giải thích:
Cách 1:
Ta có: \(k \cdot C_{2000}^{k}=2000 . C_{1999}^{k-1}, \forall k=\overline{1,2000}\). Áp dụng vào \(\mathrm{S}\)
\(\begin{array}{l}S=\left(C_{2000}^{0}+C_{2000}^{1}+\ldots+C_{2000}^{2000}\right)+\left(C_{2000}^{1}+2 C_{2000}^{2} \ldots+2000 C_{2000}^{2000}\right)=2^{2000}+2000\left(C_{1999}^{0}+C_{1999}^{1}+\ldots+C_{1999}^{1999}\right) \\ =2^{2000}+2000.2^{1999}=1001.2^{2000} .\end{array}\)
Cách 2:
Ta có \(:(1+\mathrm{x})^{2000}=C_{2000}^{0}+C_{2000}^{1} \mathrm{x}+C_{2000}^{2} \mathrm{x}^{2}+C_{2000}^{3} \mathrm{x}^{3}+\ldots+C_{2000}^{2000} \mathrm{x}^{2000}\)
Nhân cả hai vế với \(x\) ta có :
\(\mathrm{x}(1+\mathrm{x})^{2000}=C_{2000}^{0} \mathrm{x}+C_{2000}^{1} \mathrm{x}^{2}+C_{2000}^{2} \mathrm{x}^{3}+C_{2000}^{3} \mathrm{x}^{4}+\ldots+C_{2000}^{2000} \mathrm{x}^{2001}\)
Lấy đạo hàm hai vế ta có :
\((1+\mathrm{x})^{2000}+2000 \mathrm{x}(1+\mathrm{x})^{1999}=C_{2000}^{0}+2 C_{2000}^{1} \mathrm{x}+3 C_{2000}^{2} \mathrm{x}^{2}+4 C_{2000}^{3} \mathrm{x}^{3}+\ldots+2001 C_{2000}^{2000} \mathrm{x}^{2000}\left(^{*}\right)\)
Thay \(\mathrm{x}=1\) vào \(\left({ }^{*}\right)\) ta được :
\(1001.2^{2000}=C_{2000}^{0}+2 C_{2000}^{1}+3 C_{2000}^{2}+\ldots+2001 C_{2000}^{2000}\)Cách 3:
Ta có \(S=C_{2000}^{0}+2 . C_{2000}^{1}+\ldots+2000 . C_{2000}^{1999}+2001 . C_{2000}^{2000}\),
Hay \(S=2001 . C_{2000}^{2000}+2000 . C_{2000}^{1999}+\ldots+2 C_{2000}^{1}+C_{2000}^{0}\)
\(\Leftrightarrow S=2001 . C_{2000}^{0}+2000 . C_{2000}^{1}+\ldots+2 C_{2000}^{1999}+C_{2000}^{2000} \text {, }\)Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
\(\begin{array}{l}2 S=2002 \cdot C_{2000}^{0}+2002 \cdot C_{2000}^{1}+\ldots+2002 . C_{2000}^{1999}+2002 . C_{2000}^{2000} \\\Leftrightarrow S=1001 .\left(C_{2000}^{0}+C_{2000}^{1}+\ldots+C_{2000}^{1999}+C_{2000}^{2000}\right)=1001.2^{2000}\end{array}\)Câu hỏi này nằm trong: