Ta có: \(2^{n}=10 a+b\) suy ra \(b\) chia hết cho 2 mà \(0\lt b\lt 10\) nên \(b \in\{2 ; 4 ; 6 ; 8\}\).

Bây giờ đặt \(n=4 k+r\) với \(k \in \mathbb{N}\) và \(r \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3\}\).

Ta có: \(2^{n}=2^{4 k+r}=16^{k} \cdot 2^{r} \equiv 2^{r}(\bmod 15)\).

Mà \(2^{r} \in\{1 ; 2 ; 4 ; 8\}\) do đó \(2^{n}\) chia 15 dư \(1 ; 2 ; 4 ; 8\).

- Nếu \(a=3 m+1\), thì \(10 a+b=10(3 m+1)+b=30 m+b+10\).

Suy ra \(2^{n}=10 a+b \equiv b+10(\bmod 15)\).

Do đó \(b+10\) chia 15 dư \(1 ; 2 ; 4 ; 8\). Mà \(b \in\{2 ; 4 ; 6 ; 8\}\) nên \(b=6\).

Nên \(a b: 6\).- Nếu \(a=3 m+2\), thì \(10 a+b=10 \cdot(3 m+2)+b=30 m+b+20\).

Suy ra \(2^{n}=10 a+b \equiv b+5(\bmod 15)\).

Do đó \(b\) chia 15 dư \(1 ; 2 ; 4 ; 8\). Mà \(b \in\{2 ; 4 ; 6 ; 8\}\) nên không có giá trị nào của \(b\) thóa mãn.

Hay không tồn tại \(a\) dạng \(3 m+2\) sao cho \(2^{n}=10 a+b\).

- Nếu \(a=3 m\) thì \(a b=3 m b\) mà \(b\) chẵn nên \(a b: 6\).

Vậy trong mọi trường hợp \(a, b\) thỏa mãn \(2^{n}=10 a+b\) thì \(a b\) chia hết cho 6 .