Ta có: \(\triangle \mathrm{ODE}\) cân tại \(\mathrm{O}(\) do \(\mathrm{OD}=\mathrm{OE}) \Rightarrow \widehat{E D O}=\widehat{A E O}\) mà \(\widehat{A H D}=\widehat{A E O}(\mathrm{cmt}) \Rightarrow \widehat{E D O}=\widehat{A H D}\)

Lại có: \(\widehat{E D O}=\widehat{E H O}\) (tứ giác \(O E D H\) nội tiếp)

Nên \(\mathrm{HB}\) là phân giác trong của \(\triangle \mathrm{DHE}\), mà \(\mathrm{HA} \perp \mathrm{HB}\) (cmt) nên HA là phân giác ngoài của \(\triangle \mathrm{DHE} \Rightarrow \frac{H D}{H E}=\frac{I D}{I E}=\frac{A D}{A E} \quad(c)\) (I là giao điểm của \(\mathrm{HB}\) và \(\mathrm{DE}\))

\(\Delta \mathrm{DIP}, \mathrm{DP} / / \mathrm{BE}(\mathrm{gt}) \Rightarrow \frac{D P}{B E}=\frac{I D}{I E} \quad(d)\) (hệ quả Ta Lét)

\(\triangle \mathrm{ABE}, \mathrm{DQ} / / \mathrm{BE}(\mathrm{gt}) \Rightarrow \frac{D Q}{B E}=\frac{A D}{A E} \quad(e)\) (hệ quả Ta Lét)

Từ c), d), e) \(\Rightarrow \frac{D P}{B E}=\frac{D Q}{B E} \Rightarrow D P=D Q\).

Gọi \(\mathrm{K}^{\prime}\) là giao điểm của \(\mathrm{AP}\) và \(\mathrm{BE}\). \(\triangle \mathrm{AEK}, \mathrm{DP} / / \mathrm{EK} '(\mathrm{gt}) \Rightarrow \frac{D P}{E K^{\prime}}=\frac{A D}{A E} \quad(f)\)

Từ e), f) \(\Rightarrow \frac{D Q}{B E}=\frac{D P}{E K^{\prime}}\) mà \(D P=D Q(\mathrm{cmt}) \Rightarrow B E=E K^{\prime}\)

Mặt khác \(B E=E K(g t) \Rightarrow K^{\prime} \equiv K\).

Vậy \(\mathrm{A}, \mathrm{P}, \mathrm{K}\) thẳng hàng (đpcm).