Giả sử hình cầu có tâm là \(I\) và có bán kính là \(\mathbb{R}\), khối trụ có tâm của hai đáy là \(A, B\). Gọi \(r, h\) là bán kính và chiều cao của khối trụ \((0\lt h=2 I A\lt 2 R)\).Ta có: \(r=\sqrt{R^{2}-A I^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{h^{2}}{4}}\).Thể tích của khối trụ là \(V=\pi r^{2} h=\pi\left(R^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right) h=\pi\left(R^{2} h-\frac{h^{3}}{4}\right)\).Xét hàm số \(f(h)=R^{2} h-\frac{h^{3}}{4}\) với \(0\lt h\lt 2 R\), có \(f^{\prime}(h)=R^{2}-\frac{3}{4} h^{2} ; f^{\prime}(h)=0\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy thể tích của khối trụu lớn nhất khi và chỉ khi \(h=\frac{2 \sqrt{3}}{3} R\).