\(+)\) Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{2 x+1}{x+1}=-2 x+m \quad(x \neq-1)\)

Ta có \(\Delta=m^{2}+8\gt 0, \forall m\) và \(x=-1\) không là nghiệm của pt(1).

Vậy đường thẳng \(y=-2 x+m\) và \((\mathrm{C})\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

+) \(A\left(x_{1} ;-2 x_{1}+m\right), B\left(x_{2} ;-2 x_{2}+m\right)\). Trong đó \(x_{1}, x_{2}\) là nghiệm phương trình (1).

\(k_{1}=\frac{1}{\left(x_{1}+1\right)^{2}}, k_{2}=\frac{1}{\left(x_{2}+1\right)^{2}}\)

\(+) k_{1} \cdot k_{2}=\frac{1}{\left(x_{1}+1\right)^{2}} \cdot \frac{1}{\left(x_{2}+1\right)^{2}}=\frac{1}{\left(x_{1}+x_{2}+x_{1} \cdot x_{2}+1\right)^{2}}=4\)

\(P=\left(k_{1}\right)^{2019}+\left(k_{2}\right)^{2019} \geq 2 \sqrt{\left(k_{1} \cdot k_{2}\right)^{2019}}=2 \sqrt{4^{2019}}=2^{2020}\).

Vậy \(P_{\text {min }}=2^{2020}\) khi \(k_{1}=k_{2} \Leftrightarrow \frac{1}{\left(x_{1}+1\right)^{2}}=\frac{1}{\left(x_{2}+1\right)^{2}} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left.x_{1}=x_{2} \text { (loai }\right) \\ x_{1}+x_{2}=-2\end{array} \Leftrightarrow m=0\right.\)