\(\mathrm{Ve} A H \perp(B C D), H \in(B C D)\).

Vẽ \(H K / / B C, K \in B D\), có \(B D \perp B C \Rightarrow I K \perp B D\), mà \(A H \perp B D\).\(\Rightarrow B D \perp(A H K) \Rightarrow B D \perp A K\).

Nên \((\widetilde{A B D),(B C D \bar{D})})=\widetilde{A K H}=30^{\circ}\)

Vẽ \(H M / / B D, M \in B D\), có \(B C \perp B D \Rightarrow H M \perp B C\), mà \(A H \perp B C\).\(\Rightarrow B C \perp A M\), có góc \(\text{cung } A B C=135^{\circ}\).

Suy ra \(\text{cung } A B M=45^{\circ}\) (nên \(B\) ờ giữa \(M\) và \(C\) ).\(\triangle A M B\) vuông tại \(M\) có \(\text{cung } A B M=45^{\circ}\).

Suy ra \(\triangle A M B\) vuông cân tại \(B \Rightarrow A M=M B=\frac{A B}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\).

Tứ giác \(B K H M\) là hình chữ nhật, nên \(B M=H K\).\(\triangle A H K\) vuông tại \(H\) có \(\text{cung } A K H=30^{\circ}\), nên \(A H=\frac{H K}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{6}}, A K=2 A H=\frac{2 a}{\sqrt{6}}\).

\(\triangle B A D\) vuông tại \(A\) có \(A K\) là đường cao nên \(\frac{1}{A K^{2}}=\frac{1}{A B^{2}}+\frac{1}{A D^{2}}\).

Có \(B C=C M-B M, C M^{2}=C A^{2}-A M^{2}=5 a^{2}-\frac{a^{2}}{2}=\frac{9 a^{2}}{2}\)\(\Rightarrow B C=\frac{3 a}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}=a \sqrt{2}\)

Có \(V=\frac{1}{3} A H \cdot S_{B C D}=\frac{1}{6} A H \cdot B D \cdot B C=\frac{1}{6} \frac{a}{\sqrt{6}} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \sqrt{2}=\frac{a^{3}}{6}\)

Vây \(V=\frac{a^{3}}{6}\).