Cho khối chóp tam giác đều \(S . A B C\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(2 a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(S B, N\) là một điểm trên đoạn \(S C\) sao cho \(N S=2 N C\). Tính thể tích khối chóp \(A \cdot B C N M\) ?
A.
\(\mathrm{V}=\frac{\mathrm{a}^{3} \sqrt{11}}{16}\)
B.
\(\mathrm{V}=\frac{\mathrm{a}^{3} \sqrt{11}}{24}\)
C.
\(\mathrm{V}=\frac{\mathrm{a}^{3} \sqrt{11}}{36}\)
D.
\(\mathrm{V}=\frac{\mathrm{a}^{3} \sqrt{11}}{18}\)
Giải thích:
Ta có: \(V_{S \cdot A B C}=\frac{1}{3} S_{A B C} \cdot S G=\frac{1}{3} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \sqrt{(2 a)^{2}-\left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\frac{a^{3} \sqrt{11}}{12}\).
Mà \(\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}}=\frac{S M}{S B} \frac{S N}{S C}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)
Suy ra \(\frac{V_{A . B C N M}}{V_{S . A B C}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \Rightarrow V_{A . B C N M}=\frac{2}{3} V_{S . A B C}=\frac{a^{3} \sqrt{11}}{18}\).
Câu hỏi này nằm trong: