Cho hình chóp \(S . A B C D\) có đáy \(A B C D\) là hình chữ nhật với \(A D=2 A B=2 a\). Cạnh bên \(S A=2 a\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(S B\) và \(S D\). Tính khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \((A M N)\).
A.
\(a \sqrt{5}\).
B.
\(2 a\).
C.
\(\frac{3 a}{2}\).
D.
\(\frac{a \sqrt{6}}{3}\).
Giải thích:
Ta có: \(V_{S \cdot A B D}=\frac{1}{2} V_{S \cdot A B C D}=\frac{1}{6} A S \cdot A B \cdot A D=\frac{1}{6} 2 a \cdot a \cdot 2 a=\frac{2}{3} a^{3}\).
\(\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B D}}=\frac{S A}{S A} \cdot \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S D}=1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \Rightarrow V_{S . A M N}=\frac{1}{4} V_{S . A B D}=\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} a^{3}=\frac{1}{6} a^{3} .\)Mặt khác: \(A M=\frac{1}{2} S B=\frac{1}{2} \sqrt{A B^{2}+A S^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+4 a^{2}}=\frac{a \sqrt{5}}{2}\).
\(A N=\frac{1}{2} S D=\frac{1}{2} \sqrt{A D^{2}+A S^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{4 a^{2}+4 a^{2}}=a \sqrt{2} .\)\(M N=\frac{1}{2} B D=\frac{1}{2} \sqrt{A B^{2}+A D^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+4 a^{2}}=\frac{a \sqrt{5}}{2} .\)Suy ra: \(S_{\triangle A M N}=\frac{a^{2} \sqrt{6}}{4}\).
Vậy \(d(S ;(A M N))=\frac{3 V_{S . A M N}}{S_{\triangle A M N}}=\frac{1}{2} a^{3} \cdot \frac{4}{a^{2} \sqrt{6}}=\frac{a \sqrt{6}}{3}\).
Câu hỏi này nằm trong: