Gọi \(S\) là tập các cặp số thực \((x, y)\) sao cho \(\ln (x-y)^{x}-2020 x=\ln (x-y)^{y}-2020 y+\mathrm{e}^{2021}\) và \(x \in[-1 ; 1]\). Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\mathrm{e}^{2021 x}(y+1)-2021 x^{2}\) với \((x, y) \in S\) đạt được tại \(\left(x_{0} ; y_{0}\right)\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A.
\(x_{0} \in[-1 ; 0)\).
B.
\(x_{0} \in\left[\frac{1}{4} ; \frac{1}{2}\right)\).
C.
\(x_{0} \in\left[\frac{1}{2} ; 1\right]\).
D.
\(x_{0} \in\left[0 ; \frac{1}{4}\right)\).
Giải thích:
Điều kiện \(x-y\gt 0\). Ta có \(\ln (x-y)^{x}-2020 x=\ln (x-y)^{y}-2020 y+\mathrm{e}^{2021}\)
\(\left.\Leftrightarrow(x-y) \ln (x-y)-2020(x-y)=\mathrm{e}^{2021} \Leftrightarrow \ln (x-y)-2020-\frac{\mathrm{e}^{2021}}{x-y}=0 \quad{ }^{*}\right)\)Xét hàm \(f(t)=\ln t-2020-\frac{\mathrm{e}^{2021}}{t}\), có \(f^{\prime}(t)=\frac{1}{t}+\frac{\mathrm{e}^{2021}}{t^{2}}>0\) với \(\forall t>0\), nên \(f(t)\) đồng biến trên \((0 ;+\infty)\), suy ra \(\left({ }^{*}\right) \Leftrightarrow f(x-y)=0=f\left(\mathrm{e}^{2021}\right) \Leftrightarrow x-y=\mathrm{e}^{2021} \Leftrightarrow y=x-\mathrm{e}^{2021}\)
Khi đó \(P=\mathrm{e}^{2021 x}\left(1+x-\mathrm{e}^{2021}\right)-2021 x^{2}=g(x) ; g^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{2021 x}\left(2022+2021 x-2021 \mathrm{e}^{2021}\right)-4042 x\) \(g^{\prime \prime}(x)=\mathrm{e}^{2021 x}\left(2021.2023+2021^{2} x-2021^{2} \mathrm{e}^{2021}\right)-4042 \leq \mathrm{e}^{2021 x}\left(2021.2023+2021^{2}-2021^{2} \mathrm{e}^{2021}\right)-4042\lt 0\), \(\forall x \in[-1 ; 1]\).
Nên \(\quad g^{\prime}(x)\) nghịch biến trên đoạn \([-1 ; 1]\) mà \(g^{\prime}(-1)=\mathrm{e}^{-2021}+2021>0\), \(g^{\prime}(0)=2022-2021 \mathrm{e}^{2021}\lt 0\) nên tồn tại duy nhất \(x_{0} \in(-1 ; 0)\) sao cho \(g^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\) và khi đó \(\underset{[-1 ; 1]}{\text{Max}} g(x)=g\left(x_{0}\right)\)
Vậy \(P\) lớn nhất tại \(x_{0} \in[-1 ; 0)\).
Câu hỏi này nằm trong: