Đặt \(t=\sin x\).

Khi đó \(t^{\prime}=\cos x\)\(t^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in\left[-\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right]\) nên \(x \in\left\{-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2} ; \frac{5 \pi}{2}\right\}\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(x \in\left[-\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right]\) nên \(t \in[-1 ; 1]\); ứng với mỗi \(t \in(-1 ; 0)\) cho ta 4 nghiệm \(x\); úng với mỗi \(t \in(0 ; 1)\) cho ta 3 nghiệm \(x\).

Phương trình \(f(\sin x)=-1\) trở thành \(f(t)=-1, \forall t \in[-1 ; 1]\).

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số \(y=f(t)\) và đường thẳng \(y=-1\).

Dựa vào bảng biến thiên đề bài cho, ta có \(f(t)=-1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=a \in(-1 ; 0) \\ t=b \in(0 ; 1)\end{array} \quad\left({ }^{* *}\right)\right.\)

Từ (*) và (**) ta suy ra có 7 nghiệm \(x\) thóa mãn.