Cho lăng trụ đứng \(A B C.A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left(A^{\prime} B C\right)\) và \((A B C)\) là \(30^{\circ}\). Tam giác \(A^{\prime} B C\) dều và có diện tích bằng \(\sqrt{3}\).
b) Hai đường thẳng \(B C\) và \(A M\) vuông góc với nhau.
A.
B.
Giải thích:

Đặt \(B C=x \Rightarrow S_{\triangle A^{\prime} B C}=x^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3} \Leftrightarrow x=2\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\) suy ra \(B C \perp A^{\prime} M\) (Do tam giác \(\triangle A^{\prime} B C\) đều).
Khi đó ta có:
\[\left\{\begin{array}{l}B C \perp A^{\prime} M \\B C \perp A A^{\prime}\end{array} \Rightarrow B C \perp A M .\right.\]Vậy \(\left(\left(A^{\prime} B C\right) ;(A B C)\right)=\left(A^{\prime} M ; A M\right)=\widehat{A^{\prime} M A}=30^{\circ} \Rightarrow A A^{\prime}=A^{\prime} M . \sin 30^{\circ}=\sqrt{3} . \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Áp dụng công thức: \(S^{\prime}=S.\cos \varphi \Rightarrow S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A^{\prime} B C} . \cos 30^{\circ}=\frac{3}{2}\).
Suy ra thể tích của lăng trụ là: \(V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=A A^{\prime} .S_{\triangle A B C}=\frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{3}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}\).
Câu hỏi này nằm trong: