Cho \(x, y\) thỏa mãn \(\log _{3} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}+x y+2}=x(x-9)+y(y-9)+x y\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{3 x+2 y-9}{x+y+10}\) khi \(x, y\) thay đối.
A.
2 .
B.
3 .
C.
1 .
D.
0 .
Giải thích:
Điều kiện: \(x+y>0\left(\right.\) do \(\left.x^{2}+y^{2}+x y+2=\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}+\frac{3 y^{2}}{4}+2>0\right)\).
Đẳng thức đã cho tương đương với
\(\log _{3} \frac{9(x+y)}{x^{2}+y^{2}+x y+2}=x(x-9)+y(y-9)+x y+2(*) \text {. }\)Đă̆t \(u=x^{2}+y^{2}+x y+2>0, v=9 x+9 y>0\), ta có.
\(\text { (*) } \Leftrightarrow \log _{3} \frac{v}{u}=u-v \Leftrightarrow u+\log _{3} u=v+\log _{3} v \text {. }\)Mà hàm số \(f(t)=t+\log _{3} t\) đồng biến trên \((0 ;+\infty)\) nên suy ra
\((*) \Leftrightarrow u=v \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+x y-9 x-9 y+2=0 \text {. }\)Ta có
\(x^{2}+y^{2}+x y-9 x-9 y+2=0 \Leftrightarrow\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}-9\left(x+\frac{y}{2}\right)=-\frac{3}{4} y^{2}+\frac{9}{2} y-2=-\frac{3}{4}(y-3)^{2}+\frac{19}{4} .\)Dẫn đến
\(\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}-9\left(x+\frac{y}{2}\right) \leq \frac{19}{4} \Rightarrow-\frac{1}{2} \leq x+\frac{y}{2} \leq \frac{19}{2} \Rightarrow-1 \leq 2 x+y \leq 19 \text {. }\)Suy ra
\(\begin{array}{l}P=\frac{3 x+2 y-9}{x+y+10}=\frac{x+y+10+2 x+y-19}{x+y+10}=1+\frac{2 x+y-19}{x+y+10} \leq 1 . \\P=1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { 2 x + y = 1 9 } \\{ y = 3 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=8 \\y=3\end{array} .\right.\right.\end{array}\)Vầy \(\max P=1\).
Cách 2:
Từ giả thiết, ta có \(x^{2}+y^{2}+x y-9 x-9 y+2=0(*)\)
Ta thắy \(x=8, y=3\) thỏa mãn \((*)\), đặt \(x=a+8, y=b+3\)
khi dó:
\(\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+x y-9 x-9 y+2=0 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+a b+10 a+5=0 \Leftrightarrow 10 a+5 b=-\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \\\Rightarrow 10 a+5 b \leq 0 \Leftrightarrow 2 a+b \leq 0\end{array}\)Ta có: \(P=\frac{3 x+2 y-9}{x+y+10}=\frac{3 a+2 b+21}{a+b+21}=1+\frac{2 a+b}{a+b+21} \leq 1\)
Dấu " \(=\) " xãy ra khi và chỉ khi \(x=8, y=3\).
Vậy \(P\) dạt giá trị lớn nhất bằng 1 .
Câu hỏi này nằm trong: