b) Cho \(a, b, c\) là ba số dương thỏa mãn \(a+b+c=6\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(A=\frac{a b}{a+3 b+2 c}+\frac{b c}{b+3 c+2 a}+\frac{c a}{c+3 a+2 b} .\)
Giải thích:
\(A=\frac{a b}{a+3 b+2 c}+\frac{b c}{b+3 c+2 a}+\frac{c a}{c+3 a+2 b} \text {. }\)
Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{9 a b}{a+3 b+2 c} \leq \frac{a b}{c+a}+\frac{a b}{c+b}+\frac{a}{2} ; \frac{9 b c}{b+3 c+2 a} \leq \frac{b c}{a+c}+\frac{b c}{a+b}+\frac{b}{2} ; \\\frac{9 c a}{c+3 a+2 b} \leq \frac{c a}{b+a}+\frac{c a}{b+c}+\frac{c}{2}\end{array}\)Cộng theo các vế của ba bất đẵng thức trên to được
\(\begin{array}{l}9 A \leq \frac{a b}{c+a}+\frac{a b}{c+b}+\frac{a}{2}+\frac{b c}{a+c}+\frac{b c}{a+b}+\frac{b}{2}+\frac{c a}{b+a}+\frac{c a}{b+c}+\frac{c}{2} \\\Leftrightarrow 9 A \leq\left(\frac{a b}{c+a}+\frac{b c}{a+c}\right)+\left(\frac{a b}{c+b}+\frac{c a}{b+c}\right)+\left(\frac{b c}{a+b}+\frac{c a}{b+a}\right)+\frac{a+b+c}{2} \\\Leftrightarrow 9 A \leq \frac{3}{2} \cdot(a+b+c)=9 \Rightarrow A \leq 1 .\end{array}\)Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Vậy \(\text{Max} A=1 \Leftrightarrow a=b=c=2\).
Câu hỏi này nằm trong: