Cho phương trình $x^{2}-4 x=2|x-2|-m-5$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Q: Cho phương trình $x^{2}-4 x=2|x-2|-m-5$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ta có $x^{2}-4 x=2|x-2|-m-5 \Leftrightarrow|x-2|^{2}-2|x-2|+m+1=0 \quad(*)$Đặt $t=|x-2|(t \geq 0)$. Khi đó $(*)$ trở thành: $t^{2}-2 t+m+1=0 \quad(* *)$Do đó $(*)$ có bốn nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow(* *)$ có hai nghiệm dương phân biệt$\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { \Delta _ { t } \gt 0 } \\{ P _ { t } > 0 } \\{ S _ { t } > 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { 1 - ( m + 1 ) > 0 } \\{ m + 1 > 0 } \\{ 2 > 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m\lt 0 \\m>-1\end{array} \Leftrightarrow-1\lt m\lt 0\right.\right.\right.$

Question

Accepted Answer

Ta có $x^{2}-4 x=2|x-2|-m-5 \Leftrightarrow|x-2|^{2}-2|x-2|+m+1=0 \quad(*)$Đặt $t=|x-2|(t \geq 0)$. Khi đó $(*)$ trở thành: $t^{2}-2 t+m+1=0 \quad(* *)$

Do đó $(*)$ có bốn nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow(* *)$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { \Delta _ { t } \gt 0 } \{ P _ { t } > 0 } \{ S _ { t } > 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { 1 - ( m + 1 ) > 0 } \{ m + 1 > 0 } \{ 2 > 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m\lt 0 \m>-1\end{array} \Leftrightarrow-1\lt m\lt 0\right.\right.\right.$

Đề thi HSG (CT) 18-19 - Đắk Lắk - MĐ 6585