Gọi tâm đường tròn là \(I(6 a+10 ; a) \in d\).

Đường tròn tiếp xúc với \(d_{1}, d_{2}\) nên khoảng cách từ tâm \(I\) đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính \(R\), ta có:

\(\begin{array}{l}d\left(I, d_{1}\right)=d\left(I, d_{2}\right) \Leftrightarrow \frac{|3(6 a+10)+4 a+5|}{5}=\frac{|4(6 a+10)-3 a-5|}{5} \\\Leftrightarrow|22 a+35|=|21 a+35| \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { 2 2 a + 3 5 = 2 1 a + 3 5 } \\{ 2 2 a + 3 5 = - 2 1 a - 3 5 }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a=0 \\a=-\frac{70}{43}\end{array}\right.\right.\end{array}\)

- Với \(a=0\) thì \(K(10 ; 0)\) và \(R=7\) suy ra \((C):(x-10)^{2}+y^{2}=49\).

- Với \(a=-\frac{70}{43}\) thì \(K\left(\frac{10}{43} ;-\frac{70}{43}\right)\) và \(R=\frac{7}{43}\) suy ra

\((C):\left(x-\frac{10}{43}\right)^{2}+\left(y+\frac{70}{43}\right)^{2}=\left(\frac{7}{43}\right)^{2}\).

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là:

\((x-10)^{2}+y^{2}=49 ;\left(x-\frac{10}{43}\right)^{2}+\left(y+\frac{70}{43}\right)^{2}=\left(\frac{7}{43}\right)^{2}\).