Gọi \(H\) là trung điểm của \(A D\), vì \((S A D)\) vuông góc với mặt phẳng đáy nên \(S H\) là đường cao của \(S . A B C D\).

\(\Rightarrow V=\frac{1}{3} S H \cdot S_{A B C D}=\frac{1}{3} S H \cdot(2 a)^{2}=\frac{4}{3} a^{2} \cdot S H\)

Mà \(V=\frac{4 a^{3}}{3} \Rightarrow S H=\frac{4 a^{3}}{3}: \frac{4}{3} a^{2}=a\).\(\triangle S H D\) vuông tại \(H\) có \(S H=H D=a \Rightarrow S D=a \sqrt{2}\).

\(\triangle H D C\) vuông tại \(D\) có \(H D=a, D C=2 a, \Rightarrow H C=\sqrt{a^{2}+(2 a)^{2}}=\sqrt{5} a\).

\(\triangle S H C\) vuông tại \(S\) có \(S H=a, H C=\sqrt{5} a, \Rightarrow S C=\sqrt{a^{2}+(\sqrt{5} a)^{2}}=\sqrt{6} a\).

\(\triangle S C D\) có \(S D^{2}+C D^{2}=(a \sqrt{2})^{2}+2 a^{2}=6 a^{2}=S C^{2}\) nên theo định lí Pi-ta-go suy ra \(\triangle S C D\) vuông tại \(D\).

\(\Rightarrow S_{S C D}=\frac{1}{2} S D \cdot C D=\frac{1}{2} a \sqrt{2} \cdot 2 a=\sqrt{2} a^{2} \text {. }\)

Mà

\(\begin{array}{l}V_{S . B C D}=\frac{1}{2} V_{S . A B C D} \Leftrightarrow V_{S . B C D}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4 a^{3}}{3}=\frac{2 a^{3}}{3} . \\\Rightarrow \frac{1}{3} \cdot d(B,(S C D)) \cdot S_{S C D}=\frac{2 a^{3}}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \cdot d(B,(S C D)) \cdot \sqrt{2} a^{2}=\frac{2 a^{3}}{3} \\\Rightarrow d(B,(S C D))=\sqrt{2} a .\end{array}\)