Giả sử gốc toạ độ tại điểm \(F\).

Hàm số của đồ thị biểu diễn đường đi của viên bi có dạng \(y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)\).

Theo hình vẽ ta có: đồ thị có đỉnh là \(C(1 ; 7)\) và đi qua điểm \(A(0 ; 2)\) nên ta có

\(\left\{\begin{array} { c } { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \\{ a \cdot 1 ^ { 2 } + b \cdot 1 + c = 7 } \\{ a \cdot 0 ^ { 2 } + b \cdot 0 + c = 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { 2 a + b = 0 } \\{ a + b + 2 = 7 } \\{ c = 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=-5 \\b=10 \\c=2 .\end{array}\right.\right.\right.\)

Do đó, đồ thị hàm số biểu diễn đường đi của viên bi là \(y=-5 x^{2}+10 x+2\).

Điểm \(E\) là giao điểm của đồ thị với trục hoành nên hoành độ của điểm \(E\) là nghiệmcủa phương trình \(-5 x^{2}+10 x+2=0\) phương trình này và kết hợp với điều kiện \(x_{E}\gt 0\) ta nhận \(x_{1}=\frac{5+\sqrt{35}}{5}\).

Vậy khoảng cách từ vị trí \(E\) đến vị trí \(F\) là \(\frac{5+\sqrt{35}}{5}\) mét.