Ta có : \(\triangle \mathrm{MAC} \sim \triangle \mathrm{MDA}(\mathrm{cmt}) \Rightarrow \frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MD}}=\frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{MA}} \Rightarrow \mathrm{MA}^{2}=\mathrm{MD} \cdot \mathrm{MC}(1)\)Gọi H là giao điểm của \(\mathrm{AB}\) và \(\mathrm{MO}\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau \(\Rightarrow \mathrm{AB} \perp \mathrm{OM}\) tại \(\mathrm{H}\)

áp dụng hệ thức lượng vào \(\triangle \mathrm{MAO}\) vuông tại \(\mathrm{A}\), đường cao \(\mathrm{AH}\)\(\Rightarrow \mathrm{MA}^{2}=\mathrm{MH} \cdot \mathrm{MO}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \mathrm{MD} . \mathrm{MC}=\mathrm{MH} . \mathrm{MO} \Rightarrow \frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{MH}}=\frac{\mathrm{MO}}{\mathrm{MD}}\)

Xét \(\triangle \mathrm{MCH}\) và \(\triangle \mathrm{MOD}\) có :

\(\begin{array}{l}\widehat{\text { M }}\text {chung} ; \frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{MH}}=\frac{\mathrm{MO}}{\mathrm{MD}}(\mathrm{cmt}) \\ \Rightarrow \triangle \mathrm{MCH} \sim \triangle \mathrm{MOD}(\mathrm{g}-\mathrm{g}) \Rightarrow {\mathrm{MHC}=\mathrm{MDO}(3)}\end{array}\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác \(\mathrm{CHOD}\) nội tiếp (tính chất góc trong tại 1 đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện )\(\Rightarrow \widehat{\mathrm{DHO}}=\widehat{\mathrm{DCO}}\) (cùng chắn \(\mathrm{DO})(4)\)

Từ (3);(4);(5) \(\Rightarrow \widehat{\mathrm{DHO}}=\mathbf{\widehat{\mathrm { CHM }}}\)

Mà \(\mathrm{AH} \perp \mathrm{HM} \Rightarrow \mathrm{HN}\) là tia phân giác trong của \({\widehat{\mathrm{CHD}} \text { và } \mathrm{HM}}\) là tia phân giác của \(\widehat{\mathrm{CHD}}\) \(\Rightarrow \frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{MD}}=\frac{\mathrm{NC}}{\mathrm{ND}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)