Kéo dài \(\mathrm{AH}\) cắt \(\mathrm{BC}\) tại \(\mathrm{D}\) thì \(A D \perp B C \Rightarrow A D B=90^{\circ}\)

Xét tam giác \(\mathrm{AFH}\) và \(\mathrm{ADB}\) có:

\(\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\angle A \text { chung } \\\angle AFH=\angle A D B=90^{\circ}\end{array} \Rightarrow \triangle \mathrm{AFH} \sim \triangle \mathrm{ADB}(\mathrm{g}-\mathrm{g}) \Rightarrow \frac{A F}{A D}=\frac{A H}{A B}\right.\end{array}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Rightarrow A F \cdot A B=A D \cdot A H\ (1) \)

Dễ thấy tứ giác \(\mathrm{AMBC}\) nội tiếp \((\mathrm{O})\) nên \(\angle A M B+\angle A C B=180^{\circ}\) (tính chất) \((2)\)

Tứ giác \(\mathrm{ABCF}\) nội tiếp (cmt) nên \(\angle B F E+\angle B C E=180^{\circ}\)

Mà \(\angle B F E=\angle A F K\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow \angle A F K+\angle A C B=180^{\circ}\)

Từ \((2)\) và \((3)\) suy ra \(\angle A M B=\angle A F K\) (cùng bù với \(\angle A C B\) )

Xét tam giác \(A M B\) và \(A F K\) có:

\(\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\angle A \text { chung } \\\angle AMB=\angle A F K(\mathrm{cmt})\end{array} \Rightarrow \triangle \mathrm{AMB} \sim \triangle \mathrm{AFK}(\mathrm{g}-\mathrm{g}) \Rightarrow \frac{A M}{A F}=\frac{A B}{A K}\right.\end{array}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Rightarrow A M \cdot A K=A B \cdot A F\ (4)\)

Từ \((1)\) và \((4)\) suy ra \(A M \cdot A K=A D \cdot A H \Rightarrow \frac{A M}{A H}=\frac{A D}{A K}\)

Xét tam giác \(\mathrm{AMH}\) và \(\mathrm{ADK}\) có:

\(\left\{\begin{array}{l}\angle A \text { chung } \\\frac{A M}{A D}=\frac{A H}{A K} \text { (cmt) }\end{array} \Rightarrow \triangle \mathrm{AMH} \sim \triangle \mathrm{ADK}(\mathrm{c}-\mathrm{g}-\mathrm{c}) \Rightarrow\angle A M H=\angle A D K\right.\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle A D K=90^{\circ} \Rightarrow \angle A M H=90^{\circ}\) hay \(H M \perp A K\) (đpcm)