Gọi \(x(m)(x\gt 0)\) là đường kính của nửa đường tròn.

Khi đó hình chữ nhật có hai kích thước là \(x\) và \(\sqrt{5,2^{2}-x^{2}}\).

Diện tích nửa hình tròn là \(\frac{\pi x^{2}}{8}\) và diện tích hình chữ nhật là \(x \sqrt{5,2^{2}-x^{2}}\).

Theo giả thiết ta có: \(\frac{\pi x^{2}}{8}=\frac{3}{10} x \sqrt{5,2^{2}-x^{2}} \Leftrightarrow \frac{5}{12} \pi x=\sqrt{5,2^{2}-x^{2}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{25}{144} \pi^{2} x^{2}=\frac{676}{25}-x^{2} \Leftrightarrow x^{2}\left(\frac{25}{144} \pi^{2}+1\right)=\frac{676}{25} \Leftrightarrow x \approx 3,2(m) \text {. }\)

Diện tích cánh cửa là: \(\frac{\pi \cdot 3,2^{2}}{8}+3,2 \sqrt{5,2^{2}-3,2^{2}} \approx 17,1\left(m^{2}\right)\).

Do đó số tiên ông An phải trả là: \(1300000 \cdot 17,1=22230000\) (đồng).