Ta có:

\(y^{\prime}=\frac{m x^{2}-2 m^{2} x-2 m^{2}}{(x-m)^{2}}\)

Cách 1:

Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k_{1}=y^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{m x_{0}^{2}-2 m^{2} x_{0}-2 m^{2}}{\left(x_{0}-m\right)^{2}}\).

Ta thấy với \(x_{0}=0\) thì \(y^{\prime}=-2, \forall m \neq 0\).

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng cố định có hệ số góc \(k\) nên \(k_{1}=k=-2, \forall m \neq 0\)

Vậy \(x_{0}+k=-2\). Chọn đáp án \(\mathrm{A}\).

Cách 2:

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \(\left(C_{m}\right)\) tại điểm \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right)\) là \(y^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{m x_{0}{ }^{2}-2 m^{2} x_{0}-2 m^{2}}{\left(x_{0}-m\right)^{2}}\)

Theo giả thiết ta có \(k=\frac{m x_{0}^{2}-2 m^{2} x_{0}-2 m^{2}}{\left(x_{0}-m\right)^{2}}, \forall m \Leftrightarrow k\left(x_{0}-m\right)^{2}=m x_{0}{ }^{2}-2 m^{2} x_{0}-2 m^{2}, \forall m \neq x_{0}\)

\(\Leftrightarrow m^{2}\left(k+2 x_{0}+2\right)-m\left(2 k x_{0}+x_{0}^{2}\right)+k x_{0}^{2}=0, \forall m \neq x_{0}\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}k+2 x_{0}+2=0 \\ 2 k x_{0}+x_{0}^{2}=0 \\ k x_{0}^{2}=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{0}=0 \\ k=-2\end{array}\right.\right.\) (thỏa mãn). Vậy \(x_{0}+k=-2\). Chọn đáp án A.