Do Elip có tính đối xứng nên đường thẳng qua tiêu điểm \(F_{1}\) hoặc \(F_{2}\) song song với trục tung cắt (E) tại 2 điểm có tung độ đối nhau. Xét phương trình đường thẳng \((\mathrm{d})\) đi qua tiêu điểm \(F_{2}\) và song song với trục tung.

\(\Rightarrow(d): x=\sqrt{3}\)

Tọa độ giao điểm của \((d)\) và \((\mathrm{E})\) là nghiệm của hệ:

\(\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{3} \\ x^{2}+4 y^{2}=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \\ y^{2}=\frac{1}{4}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \\ y= \pm \frac{1}{2}\end{array}\right.\right.\right.\)

Vậy \(M\left(\sqrt{3} ;-\frac{1}{2}\right), N\left(\sqrt{3} ; \frac{1}{2}\right)\).Vậy \(M N=2\left|y_{M}\right|=1\).