Với mọi giá trị \(m \geq a \sqrt{b}\) với \(a, b \in \mathbb{Z}\) thì hàm số \(y=2 x^{3}-m x^{2}+2 x+5\) đồng biến trên khoảng \((-2 ; 0)\). Khi đó \(a-b\) bằng?
A.
\(-2\)
B.
\(1\)
C.
\(-5\)
D.
\(3\)
Giải thích:
Ta có \(y=2 x^{3}-m x^{2}+2 x+5\) có \(y^{\prime}=6 x^{2}-2 m x+2\).
Hàm số \(y=2 x^{3}-m x^{2}+2 x+5\) đồng biến trên khoảng \((-2 ; 0)\) khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}y^{\prime} \geq 0, \forall x \in(-2 ; 0) \Leftrightarrow 6 x^{2}-2 m x+2 \geq 0, \forall x \in(-2 ; 0) \\\Leftrightarrow 2 m x \leq 6 x^{2}+2, \forall x \in(-2 ; 0) \Leftrightarrow m \geq \frac{6 x^{2}+2}{2 x}, \forall x \in(-2 ; 0) .\end{array}\)Xét hàm số \(g(x)=\frac{6 x^{2}+2}{2 x}=3 x+\frac{1}{x}\) với \(x \in(-2 ; 0)\).
Có \(g^{\prime}(x)=3-\frac{1}{x^{2}} \Rightarrow g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 3-\frac{1}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow x^{2}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow x= \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiến suy ra \(m \geq-2 \sqrt{3}\) nên \(a=-2 ; b=3\). Do đó \(a-b=-2-3=-5\).
Câu hỏi này nằm trong: