Cho \(x, y, z\) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y z=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=x y+y z+z x-2 x y z\).
Giải thích:
Nêu chia trục số thành hai phần bởi số 0 ,thì trong 3 số \((2 x-1),(2 y-1),(2 z-1)\) luôn tồn tại hai số nằm về cùng phía, không mất tính tổng quát giả sử
\((2 x-1)(2 y-1) \geq 0 \Rightarrow 2(x+y)-4 x y \leq 1 \Rightarrow z(x+y)-2 x y z \leq \frac{z}{2} \text {. }\)Từ \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y z=1\) suy ra
\(1-z^{2}=2 x y z+x^{2}+y^{2} \geq 2 x y+2 x y z=2 x y(z+1) \Rightarrow x y \leq \frac{1-z}{2} \text {. }\)Vì vậy \(P=x y+y z+z x-2 x y z \leq \frac{1-z}{2}+\frac{z}{2}=\frac{1}{2}\).Với \(x=y=z=\frac{1}{2}\) thì \(P\) bằng \(\frac{1}{2}\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(\frac{1}{2}\)
Câu hỏi này nằm trong: