Ta có \(\overrightarrow{A C}=(-5 ; 1)\) nên đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec{n}=(1 ; 5)\).

Phương trình của đường thẳng \(d\) là 1. \((x-0)+5 \cdot(y-3)=0 \Leftrightarrow x+5 y-15=0\).

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng \(d\) là \(x+5 y-15=0\)

Đường thẳng \(\Delta\) là trung trực của đoạn thẳng \(B C\) nhận \(\overrightarrow{C B}=(3 ; 2)\) làm véc tơ pháp tuyến nên véc tơ chỉ phương của \(\Delta\) là \(\vec{u}=(2 ;-3)\). 

Mà \(\Delta\) đi qua trung điểm \(I\left(-\frac{3}{2} ; 2\right)\) của \(B C\) nên \(\Delta\) có phương trình là \(\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}+2 t \\ y=2-3 t\end{array}\right.\) với \(t \in \mathbb{R}\).

Đường thẳng \(A B\) có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{A B}=(-2 ; 3)\) nên \(A B\) có véc tơ pháp tuyến là \(\vec{n}=(3 ; 2)\) và đi qua điểm \(A(2 ; 0)\) nên \(A B\) có phương trình là

Đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(A B C\) đi qua điểm \(C(-3 ; 1)\) và nhận \(\overrightarrow{B A}=(2 ;-3)\) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là

Từ đó dễ thấy đường thẳng này không đi qua điểm \(M(2 ; 3)\).

Vậy đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(A B C\) đi qua điểm \(M(2 ; 3)\).