Chứng minh rằng phương trình : \(x^{2}-(2 m-1) x+2 m-4=0\) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}, x_{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\).
Giải thích:
Ta có \(\Delta^{\prime} \quad=(m-1)^{2}-(2 m-4)=m^{2}-2 m+1-2 m+4=m^{2}-4 m+5\)
\(=\left(m^{2}-4 m+4\right)+1=(m-2)^{2}+1\gt 0\) với mọi \(\mathrm{m}\)
\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}, x_{2}\) với mọi \(\mathrm{m}\)
Theo định lí vi-ét ta có : \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=2(m-1) \\ x_{1} \cdot x_{2}=2 m-4\end{array}\right.\)
Theo đề bài ta có : \(A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}\)
\(\Rightarrow A=4(m-1)^{2}-2(2 m-4)=4 m^{2}-8 m+4-4 m+8=(2 m)^{2}-2 \cdot 2 m \cdot 3+3^{2}+3=(2 m-3)^{2}+3 \geq 3 \quad \forall \mathrm{m}\)Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\mathrm{A}\) bằng 3 khi \(\mathrm{m}=\frac{3}{2}\)
Câu hỏi này nằm trong: