Cho tam giác \(\mathrm{ABC}\). \(\mathrm{O}\) là điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}\) lần lượt là hình chiếu của \(\mathrm{O}\) lên cạnh \(\mathrm{BC}, \mathrm{AC}, \mathrm{AB}\). Chứng minh rằng \(\frac{B C}{O M}+\frac{A C}{O N}+\frac{A B}{O P} \geq \frac{2 p}{r}\), trong đó \(\mathrm{p}\) là nửa chu vi và \(\mathrm{r}\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(\mathrm{ABC}\).
Giải thích:
- Có \((B C+A C+A B)^{2}=\left(\sqrt{B C^{2}}+\sqrt{A C^{2}}+\sqrt{A B^{2}}\right)^{2}\)\(=\left(\sqrt{\frac{B C}{O M}} \cdot \sqrt{B C \cdot O M}+\sqrt{\frac{A C}{O N}} \cdot \sqrt{A C \cdot O N}+\sqrt{\frac{A B}{O P}} \cdot \sqrt{A B \cdot O P}\right)^{2}\)
\(\leq\left(\frac{B C}{O M}+\frac{A C}{O N}+\frac{A B}{O P}\right)(B C . O M+A C \cdot O N+A B \cdot O P)\)
\(\Rightarrow 4 p^{2} \leq\left(\frac{B C}{O M}+\frac{A C}{O N}+\frac{A B}{O P}\right) \cdot 2 S_{\triangle A B C}\)
- Vì \(S_{\triangle A B C}=p r\) nên suy ra điều phải chứng minh.
\(\text { - Dấu = xảy ra khi và chỉ khi } \frac{\frac{B C}{O M}}{B C \cdot O M}=\frac{\frac{A C}{O N}}{A C \cdot O N}=\frac{\frac{A B}{O P}}{A B \cdot O P} \Leftrightarrow O M=O N=O P\)\(\Leftrightarrow O\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(\mathrm{ABC}\).
Câu hỏi này nằm trong: