Cho \(0 \leq x ; y \leq 1\) thỏa mã̃n \(2020^{1-x-y}=\frac{x^{2}+2021}{y^{2}-2 y+2022}\). Gọi \(M, m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\left(4 x^{2}+3 y\right)\left(4 y^{2}+3 x\right)+25 x y\). Khi đó, \(M-m\) bằng
A.
\(\frac{9}{16}\)
B.
\(\frac{11}{16}\)
C.
\(\frac{25}{2}\)
D.
\(\frac{1}{2}\)
Giải thích:
Chọn A
Ta có \(2020^{1-x-y}=\frac{x^{2}+2021}{y^{2}-2 y+2022} \Leftrightarrow 2020^{1-y} \cdot\left[(1-y)^{2}+2021\right]=2020^{x} \cdot\left(x^{2}+2021\right)\)
Xét hàm số \(f(t)=2020^{\prime}\left(t^{2}+2021\right)\) trên \([0 ; 1]\).
Ta thấy hàm \(f(t)\) đồng biến trên \([0 ; 1]\).\(\mathrm{Pt}(1) \Leftrightarrow f(1-y)=f(x) \Leftrightarrow 1-y=x\) hay \(x+y=1\)
Ta lại có
\(\begin{array}{l}S=16 x^{2} y^{2}+12 x^{3}+12 y^{3}+34 x y \\=12(x+y)\left[(x+y)^{2}-3 x y\right]+16 x^{2} y^{2}+34 x y \\=16(x y)^{2}-2 x y+12\end{array}\)Đặt \(x y=u\), điều kiện \(0 \leq u \leq \frac{1}{4}\).
Khi đó, \(S=g(u)=16 u^{2}-2 u+12\) với \(u \in\left[0 ; \frac{1}{4}\right]\)
\(\begin{array}{l}\text { Có } g^{\prime}(u)=32 u-2=0 \Leftrightarrow u=\frac{1}{16} \\g(0)=12 \\g\left(\frac{1}{16}\right)=\frac{191}{16} \Rightarrow M=\max g(u)=\frac{25}{2} ; m=\min _{0, \frac{1}{4}} g(u)=\frac{191}{16} \\g\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{25}{2}\end{array}\)Suy ra \(M-m=\frac{9}{16}\).
Câu hỏi này nằm trong: