Vì \(A B=B D=A D=2 a ; A C=\sqrt{7} a ; B C=\sqrt{3} a\) nên \(\triangle A B D\) đều và \(\triangle A B C\) vuông tại \(B\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\), dựng hình chữ nhật \(B C E M\).

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}A B \perp M E \\ A B \perp M D\end{array} \Rightarrow A B \perp(D M E) \Rightarrow(A B C) \perp(D M E)\right.\).

Trong \((D M E)\), kė \(D H \perp M E\) tại \(H\), suy ra \(D H \perp(A B C)\).

Ta có \(D M=M E=a \sqrt{3}\), suy ra tam giác \(D M E\) cân tại \(M\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(D E \Rightarrow M N \perp D E\).

Do đó \(D H=\frac{M N \cdot D E}{M E},\left({ }^{*}\right)\).\(E C / / A B \Rightarrow E C \perp(D M E) \Rightarrow E C \perp M N\).

\(\left\{\begin{array}{l}M N \perp D E \\ M N \perp E C\end{array} \Rightarrow M N \perp(D E C)\right.\).

\(A B / /(D E C) \Rightarrow d(A B, C D)=d(A B,(D E C))=d(M,(D E C))=M N=a\).

\(D E=2 N E=2 \sqrt{M E^{2}-M N^{2}}=2 a \sqrt{2}\).

Thế vào \(\left(^{*}\right)\) ta được: \(D H=\frac{a \cdot 2 a \sqrt{2}}{a \sqrt{3}}=\frac{2 a \sqrt{6}}{3}\).

Vậy \(V_{A B C D}=\frac{1}{3} \cdot D H \cdot \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C=\frac{1}{6} \cdot \frac{2 a \sqrt{6}}{3} \cdot 2 a \cdot a \sqrt{3}=\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}\).