Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(y=f^{\prime}(x)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g(x)=2 f(x)+2 x^{3}-4 x-3 m-6 \sqrt{5}\) với \(m\) là số thực. Để \(g(x) \geq 0, \forall x \in[-\sqrt{5} ; \sqrt{5}]\) thì điều kiện của \(m\) là
A.
\(m \geq \frac{2}{3} f(\sqrt{5})\).
B.
\(m \leq \frac{2}{3} f(\sqrt{5})\).
C.
\(m \leq \frac{2}{3} f(0)-2 \sqrt{5}\).
D.
\(m \leq \frac{2}{3} f(-\sqrt{5})-4 \sqrt{5}\).
Giải thích:
Xét hàm số \(h(x)=2 f(x)+2 x^{3}-4 x-6 \sqrt{5}\)
Ta có: \(h^{\prime}(x)=2 f^{\prime}(x)+6 x^{2}-4\)Xét \(h^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow f^{\prime}(x)=-3 x^{2}+2\)
Vẽ đồ thị của hàm số \(y=-3 x^{2}+2\) trên cùng với đồ thị của hàm \(y=f^{\prime}(x)\).
Từ đồ thị của 2 hàm số ta thấy phương trình trên có nghiệm \(\left[\begin{array}{l}x=-\sqrt{5} \\ x=\sqrt{5} \\ x=0\end{array}\right.\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(h(x)\) đồng biến trên \([-\sqrt{5} ; \sqrt{5}]\).
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \min _{[-\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}]} h(x)=h(-\sqrt{5})=2 f(-\sqrt{5})+2(-\sqrt{5})^{3}-4 .(-\sqrt{5})-6 \sqrt{5}=2 f(-\sqrt{5})-12 \sqrt{5} . \\2 f(x)+2 x^{3}-4 x-6 \sqrt{5} \geq 3 m, \forall x \in[-\sqrt{5} ; \sqrt{5}] \\\Leftrightarrow 3 m \leq 2 f(-\sqrt{5})-12 \sqrt{5} \Leftrightarrow m \leq \frac{2}{3} f(-\sqrt{5})-4 \sqrt{5} .\end{array}\)Câu hỏi này nằm trong: