Cho tam giác \(A B C\) không cân, nội tiếp đường tròn tâm \(O\) và có trọng tâm \(G\). Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(O B C, O C A, O A B\) và \(G^{\prime}\) là trọng tâm của tam giác \(M N P\). Chứng minh ba điểm \(O, G, G^{\prime}\) thẳng hàng.
Giải thích:
Ta có \(\overrightarrow{O M}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}), \overrightarrow{O N}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}), \overrightarrow{O P}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})\)
Suy ra \(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})=2 \overrightarrow{O G}\)
Lại có \(G^{\prime}\) là trọng tâm tam giác \(A B C\) nên \(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}=3 \overrightarrow{O G^{\prime}}\)
Suy ra \(3 \overrightarrow{O G}^{\prime}=2 \overrightarrow{O G} \Rightarrow O, G, G^{\prime}\) thẳng hàng
Câu hỏi này nằm trong: