Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(x^{2} f(1-x)+2 f\left(\frac{2 x-2}{x}\right)=\frac{-x^{4}+x^{3}+4 x-4}{x}, \forall x \neq 0, x \neq 1\). Khi đó \(\int_{-1}^{1} f(x)\) dx có giá trị là
A.
0 .
B.
1 .
C.
\(\frac{1}{2}\).
D.
\(\frac{3}{2}\).
Giải thích:
Từ giả thiết suy ra \(f(1-x)+\frac{2}{x^{2}} f\left(\frac{2 x-2}{x}\right)=\frac{-x^{4}+x^{3}+4 x-4}{x^{3}}\)
Ta có: \(\int_{1}^{2} f(1-x) \mathrm{d} x+\int_{1}^{2} f\left(\frac{2 x-2}{x}\right) \cdot \frac{2}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{2} \frac{-x^{4}+x^{3}+4 x-4}{x^{3}} \mathrm{~d} x\)
\(\Leftrightarrow-\int_{1}^{2} f(1-x) \mathrm{d}(1-x)+\int_{1}^{2} f\left(\frac{2 x-2}{x}\right) \mathrm{d}\left(\frac{2 x-2}{x}\right)=\int_{1}^{2}\left(-x+1+\frac{4}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right) \mathrm{d} x\)\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow-\int_{0}^{-1} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=\left.\left(-\frac{x^{2}}{2}+x-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right)\right|_{1} ^{2} \\\Leftrightarrow \int_{-1}^{0} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=0 \\\Leftrightarrow \int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t=0 .\end{array}\)Vạyy \(\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0\).
Cách trắc nghiệm
Ta có : \(x^{2} f(1-x)+2 f\left(\frac{2 x-2}{x}\right)=\frac{-x^{4}+x^{3}+4 x-4}{x}, \forall x \neq 0, x \neq 1\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow x^{2} f(1-x)+2 f\left(\frac{2 x-2}{x}\right)=\frac{-x^{4}+x^{3}}{x}+\frac{4 x-4}{x}, \forall x \neq 0, x \neq 1 \\\Leftrightarrow x^{2} f(1-x)+2 f\left(\frac{2 x-2}{x}\right)=x^{2}(1-x)+2\left(\frac{2 x-2}{x}\right), \forall x \neq 0, x \neq 1\end{array}\)Chọn \(f(x)=x \Rightarrow \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-1}^{1} x \cdot \mathrm{d} x=0\).
Câu hỏi này nằm trong: