Cho \(y=f(x)\) là hàm số đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Höi phương trình \(f(f(\cos x)-1)=0\) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn \([0 ; 3 \pi]\) ?
A.
2 .
B.
4 .
C.
5 .
D.
6 .
Giải thích:
Đặt \(t=\cos x\), với \(x \in[0 ; 3 \pi] \Rightarrow t \in[-1 ; 1]\).
Với \(t=1\), phương trình \(t=\cos x\) có hai nghiệm \(x \in[0 ; 3 \pi]\).
Với \(t=-1\), phương trình \(t=\cos x\) có hai nghiệm \(x \in[0 ; 3 \pi]\).Với \(-1\lt t\lt 1\), phương trình \(t=\cos x\) có ba nghiệm \(x \in[0 ; 3 \pi]\).
Thay \(t=\cos x\) vào phương trình \(f(f(\cos x)-1)=0\), ta được phương trình:
\(f(f(t)-1)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { f ( t ) - 1 = a \in ( - 2 ; - 1 ) } \\{ f ( t ) - 1 = b \in ( - 1 ; 0 ) } \\{ f ( t ) - 1 = c \in ( 1 ; 2 ) }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(t)=a+1 \in(-1 ; 0) \\f(t)=b+1 \in(0 ; 1) \\f(t)=c+1 \in(2 ; 3)\end{array}\right.\right.\)Từ đồ thị ta có:
+) Phương trình (1) có 1 nghiệm \(t \in(-1 ; 0)\), suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm.
+) Phương trình (2) có 1 nghiệm \(t \in(-1 ; 0)\), suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm.
+) Phương trình (3) có 1 nghiệm \(t\gt 1\), suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm.
Câu hỏi này nằm trong: