Điều kiện: \(1 \leq x \leq 5\)

Đặt \(t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}, t \geq 0\).

Ta có \(t^{2}=4+2 \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{5-x} \Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(5-x)}=\frac{t^{2}-4}{2}\)

Do \(\sqrt{(x-1)(5-x)} \geq 0 \forall x \in[1 ; 5]\) nên \(\frac{t^{2}-4}{2} \geq 0 \Rightarrow t \geq 2\)

Ta có \(\sqrt{(x-1)(5-x)} \leq \frac{(x-1)+(5-x)}{2}=2 \quad \forall x \in[1 ; 5]\) nên \(\frac{t^{2}-4}{2} \leq 2 \Rightarrow t \leq 2 \sqrt{2}\)

Vậy \(t \in[2 ; 2 \sqrt{2}]\)

Khi đó ta có hàm số \(g(t)=t-\frac{t^{2}-4}{2}+5=\frac{-t^{2}+2 t+14}{2}\) với \(t \in[2 ; 2 \sqrt{2}]\)

Ta có \(g^{\prime}(t)=-t+1\lt 0 \forall t \in[2 ; 2 \sqrt{2}]\) suy ra \(\underset{t \in[2 ; 2 \sqrt{2}]}{\text{Maxg}}(t)=g(2)=7\) \(t=[2,2 \sqrt{2}]\)

Vậy \(\underset{x \approx[1: 5]}{\text{Max}}(x)=7 \Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(5-x)}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=5\end{array}\right.\)