Cách 1:Với \(a, b\) là các số nguyên dương, ta có:

Xét hàm số: \(f(t)=\log _{3} t+t\) trên \((0 ;+\infty)\).

\(f^{\prime}(t)=\frac{1}{t \ln 3}+1>0, \forall t>0\) nên hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \((0 ;+\infty)\).

Khi đó, phương trình (1) trở thành :

Do \(a, b \in \mathbb{N}^{*}\) nên phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra: \(a+b=3\).Mà \(a, b\) là các số nguyên dương nên \(\left\{\begin{array}{l}0\lt a\lt 3 \\ 0\lt b\lt 3 \\ a+b=3 \\ a, b \in \mathbb{N}^{*}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=2\end{array}\right.\end{array}\right.\right.\)

Vậy có hai cặp số \((a ; b)\) thỏa mãn yêu cầu bải toán.

Cách 2: Với \(a, b\) là các số nguyên dương, ta có:

Truờng hợp 1: \(a+b=2\).

Khi đó: \((1) \Leftrightarrow \log _{3} \frac{2}{3}=4-3 a b\) loại do \(a, b \in \mathbb{N}^{*}\).

Trưò̀ng hợp 2: \(a+b\gt 3 \Rightarrow \log _{3} \frac{a+b}{3}>0\) và \(\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)(3-a-b)\lt 0, \forall a, b \in \mathbb{N}\) * nên (1) không xảy ra.

Trưò̀ng hơp 3: \(a+b=3\), khi đó(1) thóa mãn.

Mà \(a, b\) là các số nguyên dương nên \(\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=2\end{array}\right.\end{array}\right.\).

Vậy có hai cặp số \((a ; b)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.