ĐK: \(\cos x \neq 0\)

Khi đó, phương trình \(\Leftrightarrow\left(2 \cos ^{2} x-1\right) \cdot \cos ^{2} x-\left(1-\cos ^{2} x\right)=\cos ^{2} x-\cos ^{3} x-1\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 2 \cos ^{4} x+\cos ^{3} x-\cos ^{2} x=0 \\ \left.\Leftrightarrow 2 \cos ^{2} x+\cos x-1=0 \text { (vì } \cos x \neq 0\right)\end{array}\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\cos x=-1 \\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\pi+k_{1} 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{3}+k_{2} 2 \pi \\ x=-\frac{\pi}{3}+k_{3} 2 \pi\end{array}\right.\right.\)

Vì \(x \in[1 ; 70]\) nên \(0 \leq k_{1} ; k_{2} \leq 10 ; 1 \leq k_{3} \leq 11\)

Áp dụng công thức tính tổng 11 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, ta có

\(S=\frac{11}{2}(\pi+10.2 \pi)+\frac{11}{2}\left[\frac{\pi}{3}+\left(\frac{\pi}{3}+10.2 \pi\right)\right]+\frac{11}{2}\left[\left(-\frac{\pi}{3}+2 \pi\right)+\left(-\frac{\pi}{3}+11.2 \pi\right)\right]=363 \pi\)

(Lưu ý: Tất cả các nghiệm này không có nghiệm nào trùng nhau. Và giả như phương trình có một số họ nghiệm trùng nhau thì tổng các nghiệm trên đoạn \([1 ; 70]\) vẫn không thay đổi vì đề không yêu cầu tính tổng các nghiệm phân biệt ).