Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(O x y\), cho hình chữ nhật \(A B C D\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(A C, M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(B H\) và \(A H\). Trên cạnh \(C D\) lấy điểm \(K\) sao cho tứ giác \(M N C K\) là hình bình hành. Biết \(M\left(\frac{9}{5} ; \frac{2}{5}\right), K(9 ; 2), \quad\)điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(d_{1}: 2 x-y+2=0\) và điểm \(C\) thuộc \(d_{2}: x-y-5=0\) và hoành độ đỉnh \(C\) lớn hơn 4. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật \(A B C D\).
Giải thích:
\(B(b ; 2 b+2) ; C(c ; c-5),(c\gt 4)\). Ta có \(M N / / C K\) nên \(M N \perp B C\), mà \(B H \perp A C\) nên \(N\) là trực tâm tam giác \(M B C\). Vậy \(C N \perp B M \Rightarrow M K \perp B M\).
+) \(\overrightarrow{M K}=\left(\frac{36}{5} ; \frac{8}{5}\right) ; \overrightarrow{M B}=\left(b-\frac{9}{5} ; 2 b+\frac{8}{5}\right)\).
\(M K \perp B M \Rightarrow \overrightarrow{M K} \cdot \overrightarrow{B M}=0 \Leftrightarrow \frac{36}{5}\left(b-\frac{9}{5}\right)+\frac{8}{5}\left(2 b+\frac{8}{5}\right)=0 \Leftrightarrow b=1 \Rightarrow B(1 ; 4)\).
\(+\overrightarrow{K C}=(c-9 ; c-7) ; \overrightarrow{B C}=(c-1 ; c-9)\).
\(C K \perp C B \Rightarrow \overrightarrow{K C} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \Leftrightarrow(c-9)(c-1)+(c-7)(c-9)=0 \Leftrightarrow(c-9)(2 c-8)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}c=9 \text { (Nhận) } \\ c=4(\text { Loại) }\end{array}\right.\). Vậy \(C(9 ; 4)\).
+) \(K\) là trung điểm \(C D\) nên ta được \(D(9 ; 0)\).
\(+)\) Giả sử \(A(x ; y)\), ta có \(\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-1=0 \\ y-4=-4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=0\end{array}\right.\right.\). Vậy \(A(1 ; 0)\).
Kết luận: \(A(1 ; 0), B(1 ; 4), C(9 ; 4), D(9 ; 0)\).
Câu hỏi này nằm trong: