Trong mặt phẳng \(O x y\), cho điểm \(M(2 ; 1)\) và đường tròn \((C):(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4\). Viết phương trình đường thẳng \(d: a x+b y+c=0\) qua điểm \(M\) và cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A ; B\) sao cho độ dài \(A B\) ngắn nhất. Tính \(a+b+c\).
Giải thích:

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1 ; 2)\), bán kính \(R=2\).
Ta có: \(I M=\sqrt{2}\lt R=2\) nên điểm \(M\) nằm trong đường tròn.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(A B\). Ta có \(A B=2 H B=2 \cdot \sqrt{I B^{2}-I H^{2}}=2 \sqrt{4-I H^{2}}\)
Vì \(I H \leq I M=\sqrt{2}\) nên \(A B=2 \sqrt{4-I H^{2}} \geq 2 \sqrt{4-I M^{2}}=2 \sqrt{2}\) do đó \(A B\) ngắn nhất khi \(I H=I M\)
Lúc đó, đường thẳng \(d\) qua \(M(2 ; 1)\) và nhận \(\overrightarrow{I M}=(1 ;-1)\) làm vectơ pháp tuyến
\(\Rightarrow d: 1(x-2)-1(y-1)=0 \Leftrightarrow d:-x+y+1=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=1 \\ c=1\end{array} \Rightarrow a+b+c=1\right.\).
Câu hỏi này nằm trong: