Trong không gian \(O x y z\), cho \(A(-1 ; 3 ;-1), B(4 ;-2 ; 4)\) và điểm \(M\) thay đổi trong không gian thỏa mãn \(3 M A=2 M B\). Giá trị lớn nhất của \(P=|2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}|\) bằng
A.
\(7 \sqrt{3}\).
B.
\(18 \sqrt{3}\).
C.
\(8 \sqrt{3}\).
D.
\(21 \sqrt{3}\).
Giải thích:
- Ta có \(3 M A=2 M B \Leftrightarrow 9 M A^{2}=4 M B^{2}\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 9\left[(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2}\right]=4\left[(x-4)^{2}+(y+2)^{2}+(z-4)^{2}\right] \\\Leftrightarrow 5 x^{2}+5 y^{2}+5 z^{2}+50 x-70 y+50 z-45=0 \\\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+10 x-14 y+10 z-9=0 .\end{array}\)Vậy điểm \(M\) luôn thuộc mặt cầu \((S)\) tâm \(I(-5 ; 7 ;-5)\) và bán kính \(R=6 \sqrt{3}\)
- Gọi \(K(x ; y ; z)\) là điểm thỏa mãn \(2 \overrightarrow{K A}-\overrightarrow{K B}=\overrightarrow{0}\). Ta có \(\left\{\begin{array}{l}2(-1-x)-(4-x)=0 \\ 2(3-y)-(-2-y)=0 \\ 2(-1-z)-(4-z)=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x=-6 \\ y=8 \\ z=-6\end{array}\right.\right.\).
Suy ra \(K(-6 ; 8 ;-6)\).
Ta có \(P=|2 \overrightarrow{M \vec{A}}-\overrightarrow{M B}|=|2(\overrightarrow{M K}+\overrightarrow{K \vec{A}})-(\overrightarrow{M K}+\overrightarrow{K B})|=|\overrightarrow{M K}+(2 \overrightarrow{K \dot{A}}-\overrightarrow{K B})|=|\overrightarrow{M K}|=M K\).
Do đó \(P\) đạt giá trị lớn nhất khi độ dài đoạn \(M K\) đạt giá trị lớn nhất.
Vì \(M\) thuộc mặt cầu \((S)\) nên \(M K\) đạt giá trị lớn nhất khi \(M K=M I+I K=R+I K=7 \sqrt{3}\).
Câu hỏi này nằm trong: