Xác định giá trị biểu thức lượng giác có điều kiện

Khuất Duyên

Trên đây là bài viết tổng hợp đầy đủ, ngắn gọn về Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện.Hy vọng có thể giúp ích cho các bạn học sinh.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Phương pháp giải
  • 2. Ví dụ minh họa
    • 2.1 Ví dụ 1
    • 2.2 Ví dụ 2
  • 3. Bài tập tự luyện
  • 4. Học tập tiến bộ cùng Examon

Đối với các bạn học sinh, việc nhớ các công thức lượng giác để giải bài là vô cùng quan trọng. Tuy nhiên có quá nhiều dạng nên khiến việc học trở nên khá khó khăn. Vì thế nên Examon đã tổng hợp một trong những dạng thường gặp nhất là xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện. Examon tin rằng sau khi đọc song bài viết các bạn sẽ thấy việc học không còn khô khan mà còn trở nên thú vị.

 

banner

1. Phương pháp giải

  • Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản
  • Dựa vào dấu của giá trị lượng giác
  • Sử dụng các hằng dẳng thức đáng nhớ

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Hãy tính

a) Cho \(\sin \alpha=\frac{1}{3}\) với \(90^{\circ}\lt \alpha\lt 180^{\circ}\). Tính \(\cos \alpha\) và \(\tan \alpha\)

b) Cho \(\cos \alpha=-\frac{2}{3}\). Tính \(\sin \alpha\) và \(\cot \alpha\)

c) Cho \(\tan \gamma=-2 \sqrt{2}\) tính giá trị lượng giác còn lại.

Lời giải

a) Vì \(90^{\circ}\lt \alpha\lt 180^{\circ}\) nên \(\cos \alpha\lt 0\) mặt khác \(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\) suy ra 

\(\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)

Do dó \(\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2 \sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{2 \sqrt{2}}\)

b) Vì \(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\) nên \(\sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\) và

\(\cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}\)

c) Vì \(\tan \gamma=-2 \sqrt{2}\lt 0 \Rightarrow \cos \alpha\lt 0\) mặt khác \(\tan ^{2} \alpha+1=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}\) nên

\[\cos \alpha=-\sqrt{\frac{1}{\tan ^{2}+1}}=-\sqrt{\frac{1}{8+1}}=-\frac{1}{3}\]

Ta có \(\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \Rightarrow \sin \alpha=\tan \alpha \cdot \cos \alpha=-2 \sqrt{2} \cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)

\[\Rightarrow \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{2 \sqrt{2}}\]

2.2 Ví dụ 2

Hãy tính

a) Cho \(\cos \alpha=\frac{3}{4}\) với \(0^{\circ}\lt \alpha\lt 90^{\circ}\). Tính \(A=\frac{\tan \alpha+3 \cot \alpha}{\tan \alpha+\cot \alpha}\).

b) Cho \(\tan \alpha=\sqrt{2}\). Tính \(B=\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha+3 \cos ^{3} \alpha+2 \sin \alpha}\)

Lời giải

a) Ta có \(A=\frac{\tan \alpha+3 \frac{1}{\tan \alpha}}{\tan \alpha+\frac{1}{\tan \alpha}}=\frac{\tan ^{2} \alpha+3}{\tan ^{2} \alpha+1}=\frac{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}+2}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}=1+2 \cos ^{2} \alpha\)

Suy ra \(A=1+2 \cdot \frac{9}{16}=\frac{17}{8}\)

b) \(B=\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos ^{3} \alpha}-\frac{\cos \alpha}{\cos ^{3} \alpha}}{\frac{\sin ^{3} \alpha}{\cos ^{3} \alpha}+\frac{3 \cos ^{3} \alpha}{\cos ^{3} \alpha}+\frac{2 \sin \alpha}{\cos ^{3} \alpha}}=\frac{\tan \alpha\left(\tan ^{2} \alpha+1\right)-\left(\tan ^{2} \alpha+1\right)}{\tan ^{3} \alpha+3+2 \tan \alpha\left(\tan ^{2} \alpha+1\right)}\)

Suy ra \(B=\frac{\sqrt{2}(2+1)-(2+1)}{2 \sqrt{2}+3+2 \sqrt{2}(2+1)}=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{3+8 \sqrt{2}}\)

Examon.png
Luyện đề cấp tốc cùng Examon

3. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Cho \(\sin \alpha+\cos \alpha=\cot \frac{\alpha}{2}\) với \(0\lt \alpha\lt \pi\). Tính \(\tan \left(\frac{\alpha+2013 \pi}{2}\right)\).

Lời giải

Ta có \(\sin \alpha=2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}=2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}+1}\)

\(\cos \alpha=\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}\left(1-\frac{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}\right)=\frac{1-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}{\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}+1}\)

Do đó \(\sin \alpha+\cos \alpha=\cot \frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}+1}+\frac{1-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}{\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}+1}=\frac{1}{\tan \frac{\alpha}{2}}\)

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow \tan \frac{\alpha}{2}\left(1+2 \tan \frac{\alpha}{2}-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}\right)=1+\tan ^{2} \frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow \tan ^{8} \frac{\alpha}{2}-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}-\tan \frac{\alpha}{2}+1=0 \\\Leftrightarrow\left(\tan \frac{\alpha}{2}-1\right)^{2}\left(\tan \frac{\alpha}{2}+1\right)=0 \Leftrightarrow \tan \frac{\alpha}{2}= \pm 1\end{array}\]

Vì \(0\lt \alpha\lt \pi \Rightarrow 0\lt \frac{\alpha}{2}\lt \frac{\pi}{2}\) do đó \(\tan \frac{\alpha}{2}\gt 0\) nên \(\tan \frac{\alpha}{2}=1 \Rightarrow \cot \frac{\alpha}{2}=1\)

Ta có \(\tan \left(\frac{\alpha+2013 \pi}{2}\right)=\tan \left(\frac{\alpha}{2}+2006 \pi+\frac{\pi}{2}\right)=-\cot \frac{\alpha}{2}=-1\)

Vậy \(\tan \left(\frac{\alpha+2013 \pi}{2}\right)=-1\)

Bài tập 2:Cho \(\frac{1}{\tan ^{2} \alpha}+\frac{1}{\cot ^{2} \alpha}+\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}+\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}=7\). Tính \(\cos 4 \alpha\).

Lời giải

Ta có \(\frac{1}{\tan ^{2} \alpha}+\frac{1}{\cot ^{2} \alpha}+\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}+\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}=7\)

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow \frac{\sin ^{2} \alpha+1}{\cos ^{2} \alpha}+\frac{\cos ^{2} \alpha+1}{\sin ^{2} \alpha}=7 \\\Leftrightarrow \frac{\sin ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha+1\right)+\cos ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha+1\right)}{\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha}=7 \\\Leftrightarrow \sin ^{4} \alpha+\cos ^{2} \alpha+1=7 \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha \\\Leftrightarrow\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)^{2}-2 \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha+1=7 \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha \\\Leftrightarrow 2=9 \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha \\\Leftrightarrow 8=9(2 \sin \alpha \cos \alpha)^{2} \\\Leftrightarrow 8=9 \sin ^{2} 2 \alpha \\\Leftrightarrow 16=9(1-\cos 4 \alpha) \\\Leftrightarrow \cos 4 \alpha=-\frac{7}{9}\end{array}\]

Vậy \(\cos 4 \alpha=-\frac{7}{9}\)

Bài tập 3:Biết \(\sin x+\cos x=m\)

a) Tìm \(\sin x \cos x\) và \(\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right|\)

b) Chứng minh rằng \(|m| \leq \sqrt{2}\)

Lời giải

a) Ta có \((\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2} x=1+2 \sin x \cos x\left({ }^{*}\right)\)

Mặt khác \(\sin x+\cos x=m\) nên \(m^{2}=1+2 \sin \alpha \cos \alpha\) hay \(\sin \alpha \cos \alpha=\frac{m^{2}-1}{2}\)

Đặt \(A=\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right|\)

Ta có

\[\begin{array}{l}A=\left|\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)\right|=|(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)| \\\Rightarrow A^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}(\sin x-\cos x)^{2}=(1+2 \sin x \cos x)(1-2 \sin x \cos x) \\\Rightarrow A^{2}=\left(1+\frac{m^{2}-1}{2}\right)\left(1-\frac{m^{2}-1}{2}\right)=\frac{3+2 m^{2}-m^{4}}{4}\end{array}\]

Vậy \(A=\frac{\sqrt{3+2 m^{2}-m^{4}}}{2}\)

b) Ta có \(2 \sin x \cos x \leq \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\) kết hợp với \(\left({ }^{*}\right)\) suy ra

\((\sin x+\cos x)^{2} \leq 2 \Rightarrow|\sin x+\cos x| \leq \sqrt{2}\)

Vậy \(|m| \leq \sqrt{2}\)

4. Học tập tiến bộ cùng Examon

Trên đây là bài viết Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện đầy đủ từ A đến Z.Examon mong rằng sẽ giúp các bạn học sinh tìm được các cách hay hơn nữa, nhằm giúp đỡ các em một phần trong việc học tập bộ môn Lượng Giác(nổi tiếng với rất nhiều công thức khó nhớ này).

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!