Trắc nghiệm hàm số lượng giác nâng cao

1. Câu hỏi

Dưới đây là một số câu hỏi trắc nghiệm hàm số lượng giác nâng cao.

Câu 1:

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số: \(y=\frac{\tan 5 x}{\sin 4 x-\cos 3 x}\)

A. \(R \backslash\left\{\frac{\pi}{10}+k \frac{\pi}{5}, k \in Z\right)\)

B. \(R \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in Z\right)\)

C. \(R \backslash\left\{\frac{3 \pi}{14}+k \frac{2 \pi}{7}, k \in Z\right)\)

D. Cả A; B; C đúng

Đáp án và lời giải:

Đáp án D

Ta có: \(\sin 4 x-\cos 3 x=\sin 4 x-\sin \left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)\)

\[=2 \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{7 x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\]

Điều kiện:

\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array} { c } { \operatorname { c o s } 5 x \neq 0 } \\{ \operatorname { c o s } ( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 4 } ) \neq 0 } \\{ \operatorname { s i n } ( \frac { 7 x } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } ) \neq 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}5 x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi \\\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi \\\frac{7 x}{2}-\frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\end{array}\right.\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x \neq \frac { \pi } { 1 0 } + \frac { k \pi } { 5 } } \\{ \frac { x } { 2 } \neq \frac { \pi } { 4 } + k \pi } \\{ \frac { 7 x } { 2 } \neq \frac { 3 \pi } { 4 } + k \pi }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}x \neq \frac{\pi}{10}+\frac{k \pi}{5} \\x \neq \frac{\pi}{2}+k 2 \pi \\x \neq \frac{3 \pi}{14}+\frac{2}{7} k \pi\end{array}\right.\right. \\\end{array}\]

Câu 2:

Câu 2: Tập xác định của hàm số: \(\mathrm{y}=\frac{\operatorname{cotx}}{\cos x-1}\)

A. \(R \backslash\left\{k \frac{\pi}{2}, k \in Z\right)\)

B. \(R \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\right)\)

C. \(R \backslash\{k \pi, k \in Z)\)

D. \(R\)

Đáp án và lời giải:

Đáp án C

Ta có:

Hàm số xác định \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 1\end{array}\right.\)

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow \sin x \neq 0 \\\Leftrightarrow x \neq k \pi(k \in \mathbb{Z})\end{array}\]

Vậy tập xác định là \(D=\mathbb{R} \backslash\{k \pi, k \in Z\}\)

Câu 3:

Câu 3: Hàm số \(y=\frac{2-\sin 2 x}{\sqrt{\mathrm{m} \cos x+1}}\) có tập xác định \(\mathbf{R}\) khi

A. \(m\gt 0\)

B. \(0\lt m\lt 1\)

C. \(m \neq-1\)

D. \(-1\lt m\lt 1\)

Đáp án và lời giải:

Đáp án D

Hàm số có tập xác định \(R\) khi \(m \cos x+1\gt 0, \forall x(*)\).
Khi \(m=0\) thì (*) luôn đúng nên nhận giá trị \(m=0\).
Khi \(m>0\) thì \(m \cos x+1 \in[-m+1 ; m+1]\) nên (*) đúng khi \(-m+1>0=>0\lt m\lt 1\).
Khi \(m\lt 0\) thì \(m \cos x+1 \in[m+1 ;-m+1]\) nên (*) đúng khi \(m+1>0=>-1\lt m\lt 0\)

Vậy giá trị \(m\) thoả mãn là \(-1\lt \mathrm{m}\lt 1\).

Câu 4:

Câu 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(y=f(x)=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)\), ta được:

A. Hàm số chẵn.

B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ.

D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Đáp án và lời giải:

Đáp án D

Ta có \(y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos 2 x-\sin 2 x)+\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin 2 x-\cos 2 x)=0\).

Ta có tập xác định \(D=R\).

Hàm số \(y=f(x)=0\) có:\(f(-x)=0\) và \(-f(x)=0\)\(\Rightarrow f(x)=f(-x)=-f(x)\) vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ, nên đây là hàm số vừa chẵn vừa lé.

Câu 5:

Câu 5: Xét sự biến thiên của hàm số \(\mathrm{y}=1\) - sinx trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left(-\frac{\pi}{2} ; 0\right)\)

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\)

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left(\frac{\pi}{2} ; \pi\right)\)

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right)\)

Đáp án và lời giải:

Đáp án D

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(2 \pi\) và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên \((-\pi / 2 ; 3 \pi / 2)\)

Ta có hàm số \(y=\sin x\)

* Đồng biến trên khoảng \((-\pi / 2 ; \pi / 2)\)

* Nghịch biến trên khoảng \((\pi / 2 ; 3 \pi / 2)\)

Từ đây suy ra hàm số \(y=1-\sin x\)

* Nghịch biến trên khoảng \((-\pi / 2 ; \pi / 2)\)

* Đồng biến trên khoảng \((\pi / 2 ; 3 \pi / 2)\)

Câu 6:

Câu 6: Cho hàm số \(\mathrm{y}=\frac{1}{\operatorname{sinx}}\). Tìm mệnh đề đúng

A. hàm số không tuần hoàn

B. Hàm số tuần hoàn với \(\mathrm{T}=2 \pi\)

C. Hàm số tuần hoàn với \(\mathrm{T}=\pi\)

D. Không xác định được chu kì.

Đáp án và lời giải:

Đáp án B

Tập xác định: \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\{k \pi, k \in \mathbb{Z}\}\).

Ta xét đẳng thức

\[f(x+\mathrm{T})=f(x) \Leftrightarrow \frac{1}{\sin (x+\mathrm{T})}=\frac{1}{\sin x} \Leftrightarrow \sin (x+\mathrm{T})=\sin x \text {. }\]

Chọn \(x=\frac{\pi}{2}\) thì \(\sin \mathrm{x}=1\) và do đó

\[\sin \left(\frac{\pi}{2}+\mathrm{T}\right)=1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{2}+\mathrm{T}=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \text {. }\]

Số dương nhỏ nhất trong các số \(\mathrm{T}\) là \(2 \pi\).

Rõ ràng \(\forall x \in \mathrm{D}, x+k 2 \pi \in \mathrm{D}, x+k 2 \pi \in \mathrm{D}\) và

\[f(x+k 2 \pi)=\frac{1}{\sin (x+k 2 \pi)}=\frac{1}{\sin x}=f(x)\]

Vậy \(\mathrm{f}\) là hàm số tần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=2 \pi\).

Câu 7:

Câu 7: Xét sự biến thiên của hàm số \(\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}\). Tìm kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left(-\frac{\pi}{4} ; \frac{3 \pi}{4}\right)\)

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left(\frac{3 \pi}{4} ; \frac{7 \pi}{4}\right)\)

C. Hàm số đã cho có tập giá trị là \([-1 ; 1]\)

D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng \(\left(-\frac{\pi}{4} ; \frac{7 \pi}{4}\right)\)

Đáp án và lời giải:

Đáp án \(\mathrm{A}\)

Ta có \(y=\sin x-\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)Từ đây ta có thể loại đáp án \(C\), do tập giá trị của hàm số là \([-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]\)

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(2 \pi\) do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn \((-\pi / 4 ; 7 \pi / 4)\)

Ta có:

* Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\pi / 4 ; 3 \pi / 4)\)

* Hàm số nghịch biến trên khoảng \((3 \pi / 4 ; 7 \pi / 4)\)

Câu 8:

Câu 8: Tập xác định của hàm số \(\mathrm{y}=\tan \left(\frac{\pi}{2} \cos x\right)\) là:

A. \(\mathrm{R} \backslash\{0 ;\}\)

B. \(\mathrm{R} \backslash\{0 ; \pi\}\)

C. \(\mathrm{R} \backslash\left\{\mathrm{k} \frac{\pi}{2}\right\}\)

D. \(\mathrm{R} \backslash\{\mathrm{k} \pi\}\)

Đáp án và lời giải:

Đáp án D

Hàm số xác định

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow \cos \left(\frac{\pi}{2} \cos x\right) \neq 0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{2} \cos x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi \\\Leftrightarrow \cos x \neq 1+2 k \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\cos \neq 1(k=0) \\\cos \neq-1(k=-1)\end{array}\right. \\\Rightarrow \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi \Rightarrow D=\mathbb{R} \backslash\{k \pi\} .\end{array}\]

Câu 9:

Câu 9:Hàm số \(\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}\) tăng trên khoảng nào?

A. \(\left(-\frac{3 \pi}{4}+\mathrm{k} 2 \pi ; \frac{\pi}{4}+\mathrm{k} 2 \pi\right)\)

B. \(\left(-\frac{3 \pi}{4}+\mathrm{k} \pi ; \frac{\pi}{4}+\mathrm{k} \pi\right)\)

C. \(\left(-\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} 2 \pi ; \frac{\pi}{2}+\mathrm{k} 2 \pi\right)\)

D. \((\pi+\mathrm{k} 2 \pi ; 2 \pi+\mathrm{k} 2 \pi)\)

Đáp án và lời giải:

Đáp án \(\mathrm{A}\)

Ta có \(y=\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

Để hàm số \(y=\sin x+\cos x\) tăng thì

\[\begin{array}{l}-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\lt x+\frac{\pi}{4}\lt \frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} . \\\Leftrightarrow-\frac{3 \pi}{4}+k 2 \pi\lt x\lt \frac{\pi}{4}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} .\end{array}\]

Câu 10:

Câu 10: Hàm số \(y=2 \sin ^{2} x+4 \cos ^{2} x+6 \sin x \cos x\) tuần hoàn với chu kì:

A. \(\frac{\pi}{2}\)

B. \(2 \pi\)

C. \(\pi\)

D. \(\frac{3 \pi}{2}\)

Đáp án và lời giải:

Đáp án C

\[\begin{array}{l}y=2 \sin ^{2} x+4 \cos ^{2} x+6 \sin x \cdot \cos \mathrm{x} \\\mathrm{y}=2 \cdot \frac{1-\cos 2 \mathrm{x}}{2}+4 \cdot \frac{1+\cos 2 \mathrm{x}}{2}+3 \sin 2 x \\y=3+\cos 2 \mathrm{x}+3 \sin 2 \mathrm{x}\end{array}\]

+ Hàm số \(\mathrm{y}=3 \sin 2 \mathrm{x}\) tuần hoàn với chu kì \(2 \pi / 2=\pi\).

+ Hàm số \(\mathrm{y}=\cos 2 \mathrm{x}\) tuần hoàn với chu kì \(2 \pi / 2=\pi\).

+ Do đó hàm số \(\mathrm{y}=2 \sin ^{2} \mathrm{x}+4 \cos ^{2} \mathrm{x}+6 \sin \mathrm{x} \cos \mathrm{x}\) là hàm tuần hoàn với chu kì \(\pi\)

Câu 11:

Câu 11:Tìm \(\mathrm{m}\) để các bất phương trình sau đúng với mọi \(\mathrm{x}\) :

\[(3 \sin x-4 \cos x)^{2}-6 \sin x+8 \cos x \geq 2 m-1\]

A. \(\mathrm{m}=1\)

B. \(\mathrm{m}\gt 1\)

C. \(\mathrm{m}>2\)

D. \(\mathrm{m} \leq 0\)

Đáp án và lời giải:

Đáp án D

Đặt \(t=3 \sin x-4 \cos x\)

Ta có: \(y=(3 \sin x-4 \cos x)^{2}-6 \sin x+8 \cos x\)

\[=\mathrm{t}^{2}-2 \mathrm{t}=(\mathrm{t}-1)^{2}-1\]

Với mọi \(t\) ta có; \((t-1)^{2} \geq 0 \Rightarrow(t-1)^{2}-1 \geq-1 \Rightarrow\gt \min \mathrm{y}=-1\)Suy ra yêu cầu bài toán \(-1 \geq 2 \mathrm{~m}-1 \Leftrightarrow \mathrm{m} \leq 0\).

Câu 12:

Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathrm{y}=\frac{1}{2-\cos \mathrm{x}}+\frac{1}{1+\cos \mathrm{x}}\) với \(\mathrm{x} \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\)

A. 2

B. \(\frac{2}{3}\)

C. \(\frac{4}{3}\)

D. Tất cả sai

Đáp án và lời giải:

Đáp án \(\mathrm{C}\)

Ta thấy \(2-\cos x\gt 0, \forall x \in R\) và \(1+\cos x>0, \forall x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\).

Suy ra \(\frac{1}{2-\cos x}\) và \(\frac{1}{1+\cos x}\) là hai số dương.

Áp dụng bất đẳng thức \(\mathrm{AM}\) - GM cho hai số dương ta có

\[\frac{1}{2-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x} \geq \frac{2}{\sqrt{(2-\cos x)(1+\cos x)}}\]

Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức \(\mathrm{AM}-\mathrm{GM}\), ta có:

\[\begin{array}{l}\sqrt{(2-\cos x)(1+\cos x)} \leq \frac{2-\cos x+1+\cos x}{2}=\frac{3}{2} \\\Rightarrow y \geq \frac{2}{\sqrt{(2-\cos x)(1+\cos x)}} \geq \frac{4}{3}\end{array}\]

Vậy \(\underset{\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)}{\min } y=\frac{4}{3}\), dấu bằng xảy ra khi \(\cos x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}\) vì \(x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\).

Câu 13:

Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau \(\mathrm{y}=\sqrt{\sin \mathrm{x}}-\sqrt{\cos x}\)

A. \(\max y=1 ; \min y=-\frac{1}{2}\)

B. \(\max y=1 ; \min y=-1\)

C.\( \max y=1 ; \min y=0\)

D. Đáp án khác

Lời giải và đáp án:

Đáp án B

Khisin \(x \geq 0 ; \cos x \geq 0\)

Ta có; \(0 \leq \sqrt{\sin x} \leq 1 ; 0 \leq \sqrt{\cos x} \leq 1 \Rightarrow-1 \leq-\cos x \leq 0\)Suy ra: \(0-1 \leq \sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x} \leq 1+0 \Leftrightarrow-1 \leq \sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x} \leq 1\)Do đó, \(\operatorname{maxy}=1\) khi \(\sin x=1\)và miny \(=-1 \mathrm{khi} \cos x=1\)

Câu 14:

Câu 14: Cho hàm số sau chọn khẳng định đúng: \(\mathrm{y}=2 \sin ^{2} \mathrm{x}-\sin 2 \mathrm{x}+7\)

A. \( \max \mathrm{y}=\sqrt{2}+8\)

B. \(\max y=8\)

C. \(\min \mathrm{y}=-\sqrt{3}+8\)

\(\mathbf{D}\). Tất cả sai

Lời giải và đáp án:

Đáp án \(\mathrm{A}\)

Ta có:

\[\begin{array}{l} y=2 \sin ^{2} x-\sin 2 x+7=2 \cdot \frac{1-\cos 2 x}{2}-\sin 2 x+7 \\=-\cos 2 x-\sin 2 x+8 \\=-(\cos 2 x+\sin 2 x)+8=-\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)+8 . \\\text { Co }-1 \leq \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \leq 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \geq-\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \geq-\sqrt{2} \\\Leftrightarrow \sqrt{2}+8 \geq-\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)+8 \geq-\sqrt{2}+8 \Leftrightarrow \sqrt{2}+8 \geq y \geq-\sqrt{2}+8 \text {. }\end{array}\]

Miny \(=-\sqrt{2}+8\) khi \(\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1 \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=k 2 \pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\)
Maxy \(=\sqrt{2}+8\) khi \(\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1 \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=\pi+k 2 \pi \Leftrightarrow x=\frac{5 \pi}{4}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\)

Câu 15:

Câu 15:Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: \(\cos \pi\left(3-\sqrt{3+2 \mathrm{x}-\mathrm{x}^{2}}\right)=-1\)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải và đáp án:

Đáp án B

Phương trình \(\Leftrightarrow \pi\left(3-\sqrt{3+2 x-x^{2}}\right)=\pi+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow 2-2 k=\sqrt{3+2 x-x^{2}}\)

Ta có: \(0 \leq \sqrt{4-(1-x)^{2}} \leq 2\) và \(2-2 \mathrm{k}\) là số chẵn nên ta có các nghiệm là: \(\mathrm{x}=-1 ; \mathrm{x}=3 ; \mathrm{x}=1\)

2. Lời kết

Sau khi làm xong những câu trắc nghiệm hàm số lượng giác nâng cao phía trên bạn có thấy lượng giác nâng cao có khó hơn dạng cơ bản nhiều không nhỉ. Ít nhiều bạn cũng đã học được một số điều mới sau khi làm xong bài phía trên rồi nhỉ. Chúc bạn học tốt.

3. Thay đổi bằng kiến thức

Examon hy vọng rằng bạn không chỉ giới hạn kiến thức của bản thân ở mức cơ bản mà còn nâng cao tri thức của mình hơn với những dạng khó. Vì khi bạn chinh phục được một điều khó thì thế giới quan của bạn lại thay đổi một chút. Điều đó sẽ giúp cho tương lai phát triển của bạn sau này.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!