Tổng hợp phương pháp giải nguyên hàm

• Nguyên hàm của hằng số:

với k là hằng số và C là hằng số tích phân

• Nguyên hàm của hàm mũ

• Nguyên hàm của hàm lũy thừa

• Nguyên hàm của hàm logarit

• Nguyên hàm của các hàm lượng giác

\(\int \cos x d x=\sin x+C\)

\(\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C\)

\(\int \cot x d x=\ln |\sin x|+C\)

Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng khi tích phân không thể tìm được một các trực tiếp. Qúa trình đổi biến thường bao gồm các bước sau:

1. chọn biến thay thế

u=g(x)

2. tính vi phân

 du = g'(x) dx

3.thay đổi biến

thay thế x và dx bằng u và du trong tích phân

4. tìm nguyên hàm

tìm nguyên hàm của hàm số theo biến mới

5. quay lại biến ban đầu

thay u bằng hàm gốc của x

VD1: \(\int \sqrt{1-x^{2}} d x\)

Chọn x = sint

=> dx = costdt

sử dụng công thức lượng giác

thay t bằng arcsin x

\(=\frac{1}{2}\left(\arcsin x+\frac{\sin 2(\arcsin x)}{2}\right)+C=\frac{1}{2} \arcsin x+\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+C\)

VD2: \(\int x \cos \left(x^{2}\right) d x\)

chọn u = \(x^{2} \Rightarrow d u=2 x d x \Rightarrow d x=\frac{d u}{2 x}\)

\(\int x \cos \left(x^{2}\right) d x=\int x \cos (u) \cdot \frac{d u}{2 x}\)

= \(\frac{1}{2} \int \cos (u) d u=\frac{1}{2} \sin (u)+C=\frac{1}{2} \sin \left(x^{2}\right)+C\)

Tích phân từng phần là một công cụ hữu ích khi bạn có tích của hai hàm số, đặc biệt là khi một trong hai hàm có nguyên hàm dễ dàng hơn sau khi lấy đạo hàm

Công thức

Chọn u và dv sao cho du và v dễ dàng tính toán

VD1:

Chọn \(u=\ln x \Rightarrow d u=\frac{1}{x} d x, d v=x d x \Rightarrow v=\frac{x^{2}}{2}\)

\(\int x \ln x d x=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x\)

= \(\frac{x^{2}}{2} \ln x-\int \frac{x}{2} d x=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{x^{2}}{4}+C\)

VD2: \(\int x e^{x} d x\)

chọn u = x => du = dx, dv = \(e^{x} d x \Rightarrow v=e^{x}\)

\(\int x e^{x} d x=x e^{x}-\int e^{x} d x=x e^{x}-e^{x}+C=e^{x}(x-1)+C\)

Khi đối mặt với tích phân của phân thức hữu tỉ (tức là tỉ số của hai đa thức), ta thường sử dụng phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản hơn, dễ dàng hơn tích phân

Quy trình làm:

1. Phân tích mẫu số

Phân tích mẫu số thành các nhân tử tuyến tính hoặc bậc hai không phân tích thêm

2. Phân tích tử số: 

Phân tích tử số theo các nhân tử của mẫu số

3. Phân chia đa thức

Nếu tử số có bậc cao hơn hoặc bằng mẫu số, thực hiện phép chia đa thức trước

4. Phân tích thành các phân thức đơn giản

Sử dụng các hệ số không xác định để phân tích phân thức thành tổng của các phân thức đơn giản

VD1

Thực hiện phép chia đa thức:

Tích phân:

VD2: \(\int \frac{2 x+3}{x^{2}+2 x+1} d x\)

phân tích mẫu số: \(x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2}\)

\(\int \frac{2 x+3}{(x+1)^{2}} d x=\int \frac{2(x+1)+1}{(x+1)^{2}} d x\)

= \(\int \frac{2(x+1)}{(x+1)^{2}} d x+\int \frac{1}{(x+1)^{2}} d x\)

= \(\int \frac{2}{x+1} d x+\int(x+1)^{-2} d x\)

= \(2 \ln |x+1|-(x+1)^{-1}+C=2 \ln |x+1|-\frac{1}{x+1}+C\)

Trong một số trường hợp, tích phân từng phần có thể cần lặp lại nhiều lần hoặc kết hợp với các phương pháp khác.

Đối với tích phân từng phần lặp lại, ta có thể có một quy trình lặp lại cho đến khi đạt được kết quả

VD: \(\int x^{2} e^{x} d x\)

chọn u = \(x^{2} \Rightarrow d u=2 x d x, d v=e^{x} d x \Rightarrow v=e^{x}\)

\(\int x^{2} e^{x} d x=x^{2} e^{x}-\int 2 x e^{x} d x\)

áp dụng tích phân từng phần lần nữa cho \(\int 2 x e^{x}\)dx

chọn u = 2x 

=> du = 2dx, dv = e^xdx

=> v = e^x

\(\int 2 x e^{x} d x=2 x e^{x}-\int 2 e^{x} d x=2 x e^{x}-2 e^{x}+C\)

tích phân ban đầu

\(\int x^{2} e^{x} d x=x^{2} e^{x}-\left(2 x e^{x}-2 e^{x}\right)+C\)

= \(x^{2} e^{x}-2 x e^{x}+2 e^{x}+C\)

= \(e^{x}\left(x^{2}-2 x+2\right)\) + C

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đểu có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TíCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả \(X 2\) thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẳm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIEM SỐ nhanh \(200 \%\)

Hệ thống Examon thiết kế hố trợ người học vởi 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa vể hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIEี̉M SỐ mình mơ ước.

NHỮNG LỢI ÍCH MÀ HỆ THỐNG CÁ NHÂN HÓA VIỆC HỌC CỦA EXAMON MANG LẠI

1: Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng Tự học: 1 kỹ năng sẽ sử dụng cho việc phát triển bản thân suốt đời

2: Giúp học sinh hình thành Tư duy giải bài trước khi giải: Đây là kỹ năng giải quyết vấn để giúp hs tự tin và có chính kiến của riêng mình

3: Công nghệ Al phân tích năng lực học sinh đề xuất hs Luyện tập những chỗ sai rút ngắn thời gian cải thiện điểm số: Hệ thống \(\mathrm{Al}\) bên dưới giúp phát hiện năng lực học sinh một cách chính xác từ đó có kế hoạch cải thiện năng lực nhanh chóng