Tính tổng n số hạng của cấp số nhân
Bài viết sau đây sẽ chiếu sáng một phương diện của chúng: cách tính tổng n số hạng của cấp số nhân. Hãy cùng Examon khám phá nhé !
Mục lục bài viết
Cấp số nhân là một dãy số có quy luật theo một cấp số nhân nào đó. Khi cần tính tổng n số hạng của cấp số nhân, chúng ta không cần phải thực hiện phép cộng từng số một. Mà có thể áp dụng một công thức toán học đơn giản để tính nhanh chóng tổng của các số hạng đó. Trong bài viết này, Examon sẽ cùng bạn tìm hiểu cách tính tổng n số hạng của cấp số nhân thông qua công thức tổng của dãy số này. Hãy cùng theo dõi để hiểu rõ hơn về vấn đề này nhé!
1. Kiến thức cần nhớ
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi (hằng số này được gọi là công bội \(q \) của cấp số nhân).
Có nghĩa là: \(u_{n}\) là cấp số nhân với \(\Leftrightarrow \forall n \ge 2 , u_n=u_{n - 1}.q\) với \(n \in N^{\ast}\)
2. Công thức tính tổng n số hạng của cấp số nhân
Giả sử \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q \neq 1\).
Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}\), khi đó
\[S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\]Chú ý: Khi \(q=1\) thì \(S_{n}=n . u_{1}\)
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1: Tính tổng \(\mathrm{S}_{n}=3+3^{2}+3^{3}+\ldots .+3^{n}\)
Lời giải
Ta có dãy số \(3 ; 3^{2}, 33^{3} 3 ;\)..; \(3^{n}\) là một cấp số nhân có \(n\) số hạng.
Số hạng đầu là \(u_{1}=3\) và công bội \(q=3\).
Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên là:
\[S_{n}=u_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}=3 \cdot \frac{1-3^{n}}{1-3}=\frac{3}{2} \cdot\left(3^{n}-1\right)\]3.2. Bài tập 2
Bài 2: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{2}=10\) và \(u_{5}=1250\).
a) Tính tổng \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
b) Tính tổng \(S=u_{1}+u_{3}+u_{5}+u_{7}+\ldots+u_{99}\).
Lời giải
a) Ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array} { l } { u _ { 2 } = 1 0 } \\{ u _ { 5 } = 1 2 5 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u_{1} q=10 \\u_{1} q^{4}=1250\end{array}\right.\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { q ^ { 3 } = 1 2 5 = 5 ^ { 3 } } \\{ u _ { 1 } q = 1 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}q=5 \\u_{1}=2\end{array}\right.\right.\end{array}\]Tổng của \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
\[S_{10}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{2 \cdot\left[1-5^{10}\right]}{1-5}=\frac{1}{2} \cdot\left(5^{10}-1\right)\]b) Dãy số \(u_{1} ; u_{3} ; u_{5} ; u_{7} ; \ldots u_{99}\) là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là \(u_{1}=2\) và công bội \(q '=\frac{u_{3}}{u_{1}}=q^{2}=25\).
Dãy số đó có: \(\frac{99-1}{2}+1=50\) số hạng
Tổng là :
\[\begin{array}{l}S=u_{1}+u_{3}+u_{5}+u_{7}+\ldots+u_{99} \\=\frac{2\left(1-25^{50}\right)}{1-25}=\frac{1}{12} \cdot\left(25^{50}-1\right) \\=\frac{1}{12} \cdot\left(5^{100}-1\right)\end{array}\]3.3. Bài tập 3
Bài 3: Cho cấp số nhân \((u_n)\), biết công bội \(q=3\) và số hạng đầu tiên \(u_1=2\). Hãy tính tổng của \(5\) số hạng đầu tiên.
Lời giải
Áp dụng công thức tính tổng của \(\mathrm{n}\) số hạng đầu tiên:
\[S_{n}=u_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q}\]Ta có : \(S_{5}=2 \frac{1-3^{5}}{1-3} = 242\)
4. Đạt điểm cao cùng AI Examon
Trên đây là một bài viết giới thiệu về cách tính tổng n số hạng của một cấp số nhân. Việc tính tổng này không chỉ giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng toán học mà còn giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất của cấp số nhân. Qua bài viết này, hy vọng các bạn sẽ có thêm kiến thức và kỹ năng để áp dụng vào các bài toán thực tế. Hãy cùng thực hành và vận dụng chúng vào cuộc sống hằng ngày nhé!
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.