Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy
Phương pháp tích phân trong tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục Oy. Hãy cùng nhau khám phá và hiểu rõ hơn nhé
Mục lục bài viết
Trong toán học, việc ứng dụng tích phân để tính thể tích các khối tròn xoay không chỉ giúp chúng ta rút ngắn và dễ dàng hơn quá trình tính toán mà còn giúp hiểu sâu hơn về cách mà các hình học được tạo thành. Trong bài viết này, Examon sẽ cùng bạn tìm hiểu về cách tính thể tích của một khối tròn xoay quanh trục Oy bằng phương pháp tích phân.
1. Tóm tắt lý thuyết cần nhớ
1.1. Tích phân là gì ?
Cho hàm số \(f\) liên tục trên \(\mathrm{K}\) và \(a\), \(b\) là hai số bất kì thuộc \(\mathrm{K}\). Nếu \(F\) là một nguyên hàm của \(f\) trên \(\mathrm{K}\) thì hiệu số:
\[F(b)-F(a)\]Được gọi là tích phân của \(f\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu:
\(\int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\)
1.2. Tính chất
\(\int_{a}^{a} f(x) d x= 0\)
\(\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x\)
\(\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) d x \pm \int_{a}^{b} g(x) d x\)
\(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x\)
2. Phương pháp tính
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(x=f(y)\), trục tung và hai đường \(\mathrm{y}=\mathrm{a} ; \mathrm{y}=\mathrm{b}\) quanh trục Oy được tính theo công thức :
\(V=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(y) \mathrm{d} y\)
Chú ý : Nếu hình phẳng \(D\) được giới hạn bởi hai đường \(x=f(y) ; x=g(y)\) và hai đường \(y=a ;y=b\) (với \(f(y) \geq g(y), \forall y \in[a ; b])\) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay \(\mathrm{D}\) quanh trục \(\mathrm{Oy}\) được tính bởi công thức:
\[\mathrm{V}=\pi \int_{a}^{b}\left[f^{2}(y)-g^{2}(y)\right] d y\]\((g(y) \leq f(y)\) với \(\forall y \in[a ; b])\)
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Tính thể tích hình phẳng tạo bởi các đường \(y=\frac{2}{y}\); trục tung; \(y=1 ; y=4\)
Lời giải
\[\begin{aligned}V & =\pi \int_{1}^{4}\left(\frac{2}{y}\right)^{2} d y \\& =\int_{1}^{4} \frac{4}{y^{2}} d y \\& =-\frac{4}{y} |_{1}^{4}=3(d v t t)\end{aligned}\]3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho hình phẳng \(B\) giới hạn bởi các đường \(x=\sqrt{5} y^{2}, x=0, y=-1\) và \(y=1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(B\) quanh \(Oy\).
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành:
\[V=\pi \int_{-1}^{1}\left(\sqrt{5} y^{2}\right)^{2} d y=\pi \int_{-1}^{1} 5 y^{4} d y=\left.5 \pi \frac{y^{5}}{5}\right|_{-1} ^{1}=2 \pi\]3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Cho khối tròn xoay được tạo bởi \(y=\sqrt{ x} , y=-x+2, y=0\) quay quanh trục \(Oy\). Tính thể tích khối tròn xoay đó .
Lời giải
Ta viết lại các đường ta có :
\(\left\{\begin{array}{l}y \geq 0 \\ x=y^{2}\end{array}, x=2-y, y=0\right.\)
Khi đó thể tích khối tròn xoay là :
\[V=\left|\pi \int_{0}^{1}(2-y)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2} d y\right|=\frac{32 \pi}{15}(\mathrm{~d} v t t)\]4. Tối ưu điểm số cùng Examon
Vậy việc áp dụng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy là một ứng dụng thực tế và quan trọng. Hy vọng rằng với kiến thức từ bài viết Examon cung cấp, các bạn sẽ có thêm sự hiểu biết và áp dụng linh hoạt trong việc giải các bài toán liên quan đến tích phân và hình học. Chúc các bạn học tốt và đạt được nhiều thành công!
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.