Sử dụng tính chất chèn cận tính tích phân

1. Định nghĩa.

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\)

• Giả sử \(\mathrm{F}(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).

• Hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a ; b]\) ) của hàm số \(f(x)\), ki hiệu là \(\int_{a}^{b} f(x) d x\).

• Ta còn dùng ki hiệu \(\left.F(x)\right|_{a} ^{b}\) để chỉ hiệu số \(F(b)-F(a)\)

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

\(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\)

Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

\(\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x\)

\(=-\int_{b}^{a} f(x) d x\)

2. Phương pháp.

2.1. Yêu cầu.

Tính tích phân \(I=\int_{a}^{b}|f(x)| d x\)

2.2. Phương pháp giải chi tiết.

• Bước 1: Xét dấu của \(f(x)\) trên khoảng \((a ; b)\)

- Giải phương trình \(f(x)=0 \Leftrightarrow x=x_{i} \in(a ; b)\)

- Lập bảng xét dấu của \(f(x)\) trên khoảng \((a ; b)\)

• Bước 2: Chèn cận \(x_{i}\) và đồng thời bỏ dấu || (căn cứ vào \(\mathrm{BXD}\) ) ta được các tích phân cơ bản

\(I=\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x\)

\(=\int_{a}^{x}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{x}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x\)

Chú ý: Nếu \(f(x)\) không đổi dấu trên đoạn \([a ; b]\) thì

\(I=\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x=\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|\)

3. Tính chất cần chú ý.

•Tính chất 1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\)

•Tính chất 2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

•Tính chất 3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

•Tính chất 4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

•Tính chất 5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

•Tính chất 6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

•Tính chất 7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\(\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text { }\)

\((k\) là hằng số\()\)

•Tính chất 8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

\(\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x\)

\(=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\)

•Tính chất 9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

•Tính chất 10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

• Chú ý:

- Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\), tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\).

4. Ý nghĩa hình học.

- Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a ; b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(S\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\).Vậy \(S=\int_{a}^{b} f(x) d x\)

• Giả sử hàm số \(y=f(x)\) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn \([a ; b]\). Khi đó, tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=f(x)\), trục hoành \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\), với \(a\lt b\).

\(S=\int_{a}^{b} f(x) d x\)

- Chẳng hạn: \(F(x)=x^{3}+C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3 x^{2}\) nên tích phân

\[\begin{array}{l}\int_{0}^{1} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{0} ^{1}=F(1)-F(0) \\=\left(1^{3}+C\right)-\left(0^{3}+C\right)=1 .\end{array}\]

+ Lưu ý: Giá trị của tích phân không phụ thuộc vào hằng số \(C\). Trong tính toán, ta thường chọn \(C=0\).

- Chẳng hạn: Hàm số \(f(x)=x^{2}+2 x+1\) có đồ thị \((C)\) và \(f(x)=(x+1)^{2} \geq 0\), với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

• Diện tích "tam giác cong" giới hạn bởi (C) , trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=-1\) và \(x=1\) là \(S=\int_{-1}^{1} f(x) d x=\int_{-1}^{1}\left(x^{2}+2 x+1\right) d x\) \(=\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x\right)\right|_{-1} ^{1}=\frac{8}{3}\).

+ Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là "hình thang cong".

5. Bài tập.

5.1. Bài tập 1.

Tính các tích phân sau:

a) \(I=\int_{0}^{2}|x-1| \mathrm{d} x \quad\)

b) \(I=\int_{0}^{3}\left|x^{2}-x\right| \mathrm{d} x\)

c) \(\int_{-4}^{2}\left|x^{2}+2 x-3\right| \mathrm{d} x\)

d) \(\int_{-2}^{2}|2 x-| x+1|| \mathrm{d} x\)

Lời giải chi tiết:

a) \(I=\int_{0}^{2}|x-1| \mathrm{d} x\)

\(=\int_{0}^{1}|x-1| \mathrm{d} x+\int_{1}^{2}|x-1| \mathrm{d} x\)

\(=-\int_{0}^{1}(x-1) \mathrm{d} x+\int_{1}^{2}(x-1) \mathrm{d} x\)

\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)

b) Xét trên khoảng \((0 ; 3)\) ta có: \(x^{2}-x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0(l) \\ x=1\end{array}\right.\)

BXD:

\(x\)	0 1 3
\(x²-x\)	- 0 +

Suy ra:

\(I=-\int_{0}^{1}\left(x^{2}-x\right) \mathrm{d} x\)

\(+ \int_{1}^{3}\left(x^{2}-x\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{6}+\frac{14}{3}=\frac{29}{6} \text {. }\)

c) Xét trên khoáng \((-2 ; 2)\) ta có: \(x^{2}+2 x-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-3 \\ x=1\end{array}\right.\)

BXD:

\(x\)	-4 -3 1 2
\(x^{2}+2 x-3\)	+ 0 - 0 +

Suy ra:

\(I=\int_{-4}^{-3}\left(x^{2}+2 x-3\right) \mathrm{d} x\)

\(-\int_{-3}^{1}\left(x^{2}+2 x-3\right) \)

\(\mathrm{d} x+\int_{1}^{2}\left(x^{2}+2 x-3\right) \mathrm{d} x\)

\(=\frac{7}{3}+\frac{32}{3}+\frac{7}{3}=\frac{46}{3} \text {. }\)

d) Xét trên khoảng \((-2 ; 2)\) ta có: \(x+1=0 \Leftrightarrow x=-1\)

BXD:

\(x\)	-2 -1 2
\(x+1\)	- 0 +

\(I=\int_{-2}^{1}|2 x+x+1| \mathrm{d} x\)

\(+\int_{1}^{2}|2 x-x-1| \mathrm{d} x\)

\(=\int_{-2}^{1}|3 x+1| \mathrm{d} x+\int_{1}^{2}|x-1| \mathrm{d} x\)

\(=I_{1}+I_{2}\)

Ta có:

\(I_{1}=\int_{-2}^{1}|3 x+1| \mathrm{d} x\)

\(=-\int_{-2}^{-\frac{1}{3}}(3 x+1) \mathrm{d} x+\int_{\frac{1}{3}}^{1}(3 x+1) \mathrm{d} x\)

\(=\frac{41}{6} . \\I_{2}=\int_{1}^{2}|x-1| \mathrm{d} x\)

\(=\int_{1}^{2}(x-1) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} .\)

Vây: \(I=\frac{41}{6}+\frac{1}{2}=\frac{22}{3}\).

5.2. Bài tập 2.

Tính \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1-\sin 2 x}{2}} d x\).

Ta có:

\(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1-\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)}{2}} \mathrm{~d} x\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)} \mathrm{d} x\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left|\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right| \mathrm{d} x .\)

Xét trên khoảng \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\), ta có:

\(\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}\)

BXD:

\(x\)	0 \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)	- 0 +

Suy ra:

\(I=-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \mathrm{d} x\)

\(+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) d x\)

\(=\left.\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}-\left.\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right|_{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}}\)

\(=2-\sqrt{2} .\)

Lời kết

Trong bài viết hôm nay Examon đã tổng hợp và giới thiệu đến bạn một phương pháp tính và giải bài tập tích phân phổ biến và đơn giản. Hy vọng rằng qua bài viết này các bạn đã hiểu hơn về phương pháp này và đã có thể áp dụng giải các bài tập tích phân liên quan. Để có thể học tốt và dễ dàng giải được nhiều dạng bài tập tích phân khác nhau, bạn cần phải nắm vững lý thuyết và thực hành giải bài thật nhiều bạn nhé! Vậy bạn có biết tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến như vậy không?

Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!