Phương pháp giải bài tập cấp số nhân siêu nhanh

1. Phương pháp giải

Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội.

Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \(u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1} , n \ge 1\) và q.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân:\(u_{1}\)Trong đó q: công bội của cấp số nhân.

Tính chất:

\[\begin{array}{l}u_{n}^{2}=u_{n-1} \cdot u_{n+1} \forall n \geq 2 \\S_{n}=u_{1}+\cdots+u_{n}=\frac{u_{1} \cdot\left(q^{n}-1\right)}{q-1} ; q \neq 1\end{array}\]

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có các số hạng khác không, tìm \(u_{1}\) biết:

\[\left\{\begin{array}{c}u_{1}{ }^{2}+u_{2}{ }^{2}+u_{3}{ }^{2}+u_{4}{ }^{2}=85 \\u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}=15\end{array}\right.\]

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}u_{1}{ }^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}+q^{6}\right)=85 \\ u_{1}\left(1+q+q^{2}+q^{3}\right)=15\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} \frac{q^{4}-1}{q-1}=15 \\ u_{1}{ }^{2} \frac{q^{8}-1}{q^{2}-1}=85\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow\left(\frac{q^{4}-1}{q-1}\right)^{2}\left(\frac{q^{8}-1}{q^{2}-1}\right)=\frac{45}{17} \Leftrightarrow \frac{\left(q^{4}-1\right)(q+1)}{(q-1)\left(q^{4}+1\right)}=\frac{45}{17} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}q=2 \\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}\)

Từ đó ta tìm được \(\mathrm{u}_{1}=1, \mathrm{u}_{1}=8\)

2.2 Ví dụ 2

Cho cấp số nhân \(\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right):\left\{\begin{array}{c}u_{3}=243 u_{8} \\ u_{4}=\frac{2}{27}\end{array}\right.\).

1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;

2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;

3. Số \(2 / 6561\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?

Lời giải cho tiết

Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

\[\left\{\begin{array} { c } { u _ { 1 } q ^ { 2 } = 2 4 3 u _ { 1 } q ^ { 7 } } \\{ u _ { 1 } q ^ { 3 } = \frac { 2 } { 2 7 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 4 3 } = q ^ { 5 } } \\{ u _ { 1 } q ^ { 3 } = \frac { 2 } { 2 7 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}q=\frac{1}{3} \\u_{1}=2\end{array}\right.\right.\right.\]

1. Năm số hạng đầu của cấp số là:

\[u_{1}=2, u_{2}=2 / 3, u_{3}=2 / 9, u_{4}=2 / 27, u_{5}=2 / 81 \text {. }\]

2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

\[\mathrm{S}_{10}=u_{1} \frac{q^{10}-1}{q-1}=2 \cdot \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{10}-1}{\frac{1}{3}-1}=\frac{59048}{19683}\]

3. Ta có:

\[u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}} \text {. Mà } u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1}=6561 \Rightarrow n=9\]

Vậy 2/6561 là số hạng thứ 9 của cấp số.

3. Bài tập rèn luyện

3.1 Bài tập 1

Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm \(u_{1}\) biết:

\[\left\{\begin{array}{c}u_{1}+u_{5}=\frac{82}{11} \\u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}=11\end{array}\right.\]

Lời giải:

\(\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{c}u_{1}\left(1+q^{4}\right)=\frac{82}{11} \\ u_{1}\left(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}\right)=11\end{array}\right. \\ \Leftrightarrow & \left\{\begin{array}{c}u_{1} q\left(1+q+q^{2}\right)=\frac{32}{11} \\ u_{1}\left(1+q^{4}\right)=\frac{82}{11}\end{array}\right. \\ \Rightarrow & \frac{1+q^{4}}{q\left(1+q+q^{2}\right)}=\frac{82}{39} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}q=3 \\ q=\frac{1}{3}\end{array}\right.\end{aligned}\)

Khi đó u1=81/11 hoặc u1=1/11

3.2 Bài tập 2

Tìm tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, biết \(\left\{\begin{array}{c}u_{1}+u_{5}=51 \\ u_{2}+u_{6}=102\end{array}\right.\)

Lời giải chi tiết

\(\left\{\begin{array}{c}u_{1}+u_{5}=51 \\ u_{2}+u_{6}=102\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u_{1}\left(1+q^{4}\right)=51 \\ u_{1}\left(q+q^{5}\right)=102\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}q=2 \\ u_{1}=3\end{array}\right.\right.\right.\)

Khi đó \(\mathrm{S}_{5}=u_{1} \frac{q^{10}-1}{q-1}=3 \cdot \frac{2^{5}-1}{2-1}=93\).

3.3 Bài tập 3

Một cấp số nhân dương có 4 số hạng, công bội q bằng 1/4 lần số hạng thứ nhất, tổng của hai số hạng đầu bằng 24. Tìm tích các số hạng cấp số nhân đó?

Lời giải chi tiết

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là \(\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \mathrm{u}_{3}, \mathrm{u}_{4}\)

Ta có \(\left\{\begin{array}{c}q=\frac{1}{4} u_{1} \\ u_{1}+u_{2}=24\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}q=\frac{1}{4} u_{1} \\ u_{1}(1+q)=24\end{array}\right.\right.\)

\[\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { u _ { 1 } = 8 } \\{ u _ { 1 } = - 1 2 ( \text { l} ) } \\{ q = \frac { 1 } { 4 } u _ { 1 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}u_{1}=8 \\q=2\end{array}\right.\right.\]

\(\mathrm{u}_{1}=8, \mathrm{u}_{2}=16, \mathrm{u}_{3}=32, \mathrm{u}_{4}=64\).

Khi đó tích cần tìm là: 8.6.32.64 = 98304 .

3.4 Bài tập 4

Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.

Lời giải chi tiết

Từ giả thiết ta có

\[\left\{\begin{array} { c } { u _ { 4 } = 6 } \\{ u _ { 7 } = 2 4 3 u _ { 2 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } \cdot q ^ { 3 } = 6 } \\{ q ^ { 5 } = 2 4 3 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}q=3 \\u_{1}=\frac{2}{81}\end{array}\right.\right.\right.\]

Vậy \(u_{1}=2 / 9, u_{2}=2 / 3, u_{3}=2, u_{4}=6, u_{5}=18, u_{6}=54, u_{7}=162\).

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Trên đây là bài viết Phương pháp giải bài tập cấp số nhân siêu nhanh. Mong rằng bài viêt sẽ giúp các bạn củng cố thêm kiến thức. Hãy nhớ luyện tập thường xuyên để không bị quên kiến thức mà còn cải thiện tư duy. Cùng Examon nâng tầm tri thức.

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.