Nguyên hàm và các dạng bài tập liên quan

Trong Toán học, nguyên hàm được kí hiệu là \(\mathrm{K}\) và được đinh nghĩa là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của số thực. Bởi thế, nguyên hàm liên quan trực tiếp đến hàm số.

Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F^{\prime}(x)=f(x)\) với mọi \(x \in K\).

Định li:

1) Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(G(x)=F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\).

2) Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x)+C\), với \(C\) là một hằng số.

Do đó \(F(x)+C, C \in \mathbb{R}\) là họ tất cà các nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\). Ký hiệu \(\int f(x) d x=F(x)+C\).

- Nếu \(F(x)\) có đạo hàm thì: \(\int \mathrm{d}(\mathrm{F}(\mathrm{x}))=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{C}\) \(-\int \mathrm{kf}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\mathrm{k} \int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) với \(\mathrm{k}\) là hằng số khác 0 . \(-\int[f(x) \pm g(x)] d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x\)

1. \(\int d x=x+C\)

2. \(\int k d x=k x+C\)

3. \(\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n \neq-1)\)

4. \(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C(x \neq 0)\)

5. \(\int \frac{1}{x^{2}} d x=-\frac{1}{x}+C\)

6. \(\int \frac{1}{x^{n}} d x=-\frac{1}{(n-1) x^{n-1}}+C\)

7. \(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)

8. \(\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(0\lt a \neq 1)\)

9. \(\int \cos x d x=\sin x+C\)

10. \(\int \sin x d x=-\cos x+C\)

11. \(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\int\left(1+\tan ^{2} x\right) d x=\tan x+C\)

12. \(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=\int\left(1+\cot ^{2} x\right) d x=-\cot x+C\)

13. \(\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=\sqrt{x}+C\)

14. \(\int(a x+b)^{\alpha} d x=\frac{1}{a} \frac{(a x+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\)

15. \(\int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C\)

16. \(\int e^{a x+b} d x=\frac{1}{a} e^{a x+b}+C\)

17. \(\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C\)

18. \(\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C\)

19. \(\int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\)

20. \(\int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C\)

21. \(\int \tan x \cdot d x=-\ln |\cos x|+C\) 

\(\int \tan (a x+b) \mathrm{dx}=-\frac{1}{a} \ln |\cos (a x+b)|+C\)22

22. \(\cot x \cdot d x=\ln |\sin x|+C\) 

 \(\int \cot (a x+b) \mathrm{dx}=\frac{1}{a} \ln |\sin (a x+b)|+C\)

\(\begin{array}{l}\int \frac{\mathrm{dx}}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{|a|}+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a} \arccos \left|\frac{x}{a}\right|+c\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\int \frac{\mathrm{dx}}{x \sqrt{x^{2}+a^{2}}}=-\frac{1}{a} \ln \left|\frac{a+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{x}\right|+c \\ \int \ln (a x+b) \mathrm{dx}=\left(x+\frac{b}{a}\right) \ln (a x+b)-x+c \\ \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{dx}=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+c\end{array}\)\(\int \frac{\mathrm{dx}}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\tan \frac{a x+b}{2}\right|+c\)

\(\begin{array}{l}\int e^{a x} \cos b x \mathrm{dx}=\frac{e^{a x}(a \cos b x+b \sin b x)}{a^{2}+b^{2}}+c \\ \int e^{a x} \sin b x \mathrm{dx}=\frac{e^{a x}(a \sin b x-b \cos b x)}{a^{2}+b^{2}}+c\end{array}\)

Định lí 1: Nếu \(\int f(u) d u=\mathrm{F}(\mathrm{u})+\mathrm{C}\) và \(\mathbf{u}=\mathrm{u}(\mathrm{x})\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

Hệ quả: Nếu \(\mathrm{u}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(\mathrm{a} \neq 0)\) thì ta có \(\int f(a x+b) d x=\frac{1}{a} F(a x+b)+C\)

Định lí 2: Nếu hai hàm số \(\mathrm{u}=\mathrm{u}(\mathrm{x})\) và \(\mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{x})\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathrm{K}\) thì

 \(\int u(x) v^{\prime}(x) d x=\mathbf{u}(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{v}(\mathbf{x})-\int u^{\prime}(x) v(x) d x\)

Hay \(\int u d v=u v-\int v d u\)

Phương pháp dùng định nghĩa và tính chất

+ Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa \(\mathrm{x}\).

+ Đưa biểu thức chứa \(x\) về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

+ Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ minh họa:

\(\begin{array}{l}\int x(3 \sqrt{x}-2) d x \\ =\int(3 x \sqrt{x}-2 x) d x=\int\left(3 x^{\frac{3}{2}}-2 x\right) d x \\ =3 \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-2 \frac{x^{2}}{2}+C=\frac{6}{5} x^{2} \sqrt{x}-x^{2}+C\end{array}\)

Ví dụ minh họa:

\(\int \mathrm{e}^{\sin ^{2} x} \sin 2 \mathrm{x} d x\)

Đặt \(t=\sin ^{2} x\), suy ra \(d t=2 \sin x \cos d x\)

Khi đó \(\int \mathrm{e}^{\sin ^{2} \mathrm{x}} \sin 2 \mathrm{x} d \mathrm{x}\)

Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số "khác lớp hàm" ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức

Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với \(P(x)\) là một đa thức theo ẩn \(x\) )

- Gặp \(\int f(x) \cdot \ln ^{n}(a x+b) d x\)

ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln ^{n}(a x+b) \\ d v=f(x) d x\end{array}\right.\)

- Gặp \(\int \mathrm{e}^{a x+b}\left[\begin{array}{l}\sin (m x+n) \\ \cos (m x+n)\end{array}\right] d x\)

ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x+b} \\ d v=\left[\begin{array}{l}\sin (m x+n) \\ \cos (m x+n)\end{array}\right] d x\end{array}\right.\)

Ví dụ minh họa: 

 \(\int x \sin x d x\)

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=\sin x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=-\cos x\end{array}\right.\right.\).

Nếu bậc của tử số \(P(x) \geq\) bậc của mẫu số \(Q(x)\) thì chia đa thức

Nếu bậc của tử số \(P(x)\) < bậc của mẫu số \(Q(x)\) thì xem xét mẫu số và khi đó:

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:

\(\begin{array}{l}\text { - } \frac{1}{(a x+m) \cdot(b x+n)} \\ =\frac{1}{a n-b m} \cdot\left(\frac{a}{a x+m}-\frac{b}{b x+n}\right) . \\ -\frac{m x+n}{(x-a) \cdot(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b} \\ =\frac{(A+B) \cdot x-(A b+B a)}{(x-a) \cdot(x-b)} \\ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A+B=m \\ A b+B a=-n\end{array}\right.\end{array}\)

+ Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác.

Ví dụ minh họa:

\(\int \frac{x+1}{x-1} d x=\int\left(1+\frac{2}{x-1}\right) d x=\mathrm{x}+2 \ln |\mathrm{x}-1|+\mathrm{C}\)

Bước 1: Tìm nguyên hàm dựa vào những phương pháp đã biết:

- Sử dụng bảng nguyên hàm.

- Đối biến số

- Nguyên hàm từng phần

Bước 2: Dựa vào yêu cầu của bài toán tìm ra hằng số \(\mathrm{C}\) tương ứng.

Bước 3: Kết luận một nguyên hàm vừa tìm được.

Ví dụ minh họa:

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)=x \sin 2 x\) và thỏa \(F(0)+F(\pi)=-\pi / 2\). Tính \(F(\pi / 4)\)

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=\sin 2 x d x^{\prime}\end{array}\right.\)ta có \(\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=-\frac{1}{2} \cos 2 x^{\prime}\end{array}\right.\)

Khi đó

 \(\int x \sin 2 x d x=-\frac{1}{2} x \cos 2 x+\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x\)\(=-\frac{1}{2} x \cos 2 x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C\)

Vậy \(F(x)=-\frac{1}{2} x \cos 2 x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C\).

Ta có:  \(F(0)+F(\pi)=C+\left(-\frac{\pi}{2}+C\right)=-\frac{\pi}{2}+2 C\).

Mà:  \(F(0)+F(\pi)=-\frac{\pi}{2}\) nên \(C=0\)

Vậy: \(F\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{4}\)